Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] এবং (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় 8 মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এবং (ii)নং সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এখানে, (i) নং ও (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল [গণিত] এখন, (iii) ও (iv) নং হতে বজ্জগুণনের সূত্রানুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অতএব, [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় ও এবং (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় 8 মূলদ্ব…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : p(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a). দৃশ্যকল্প-২ : ax2+bx+c=0……...(i)a x^{2}+b x+c=0\ldots\ldots... (i) cx2−2bx+4a=0……..(ii)c x^{2}-2 b x+4 a=0\ldots\ldots.. (ii)

Mymensingh · 2022

উত্তর

−2i-2 \mathrm{i} এর বর্গমূল =−2i=\sqrt{-2 \mathrm{i}} =12−2i+i2=(1−i)2=±(1−i)=\sqrt{1^{2}-2 i+i^{2}}=\sqrt{(1-i)^{2}}= \pm(1-i) −2i-2 \mathrm{i} এর বর্গমূল, ±(I−i)\pm(\mathrm{I}-\mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, p(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=x2−bx−ax+ab+x2−cx−bx+bc+x2−ax−cx+ca=x2−bx−ax+ab+x2−cx−bx+bc+x2−ax−cx+ca=3x2−(b+a+c+b+a+c)x+ab+bc+ca)∴p(x)=3x2−2(a+b+c)x+ab+bc+ca\begin{aligned} \mathrm{p}(\mathrm{x}) & =(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{b})+(\mathrm{x}-\mathrm{b})(\mathrm{x}-\mathrm{c})+(\mathrm{x}-\mathrm{c})(\mathrm{x}-\mathrm{a}) \\ & =\mathrm{x}^2-\mathrm{bx}-\mathrm{ax}+\mathrm{ab}+\mathrm{x}^2-c \mathrm{x}-\mathrm{bx}+\mathrm{bc}+\mathrm{x}^2-\mathrm{ax}-\mathrm{cx}+\mathrm{ca} \\ & =\mathrm{x}^2-\mathrm{bx}-\mathrm{ax}+\mathrm{ab}+\mathrm{x}^2-\mathrm{cx}-\mathrm{bx}+\mathrm{bc}+\mathrm{x}^2-\mathrm{ax}-\mathrm{cx}+\mathrm{ca} \\ & \left.=3 \mathrm{x}^2-(\mathrm{b}+\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{a}+\mathrm{c}) \mathrm{x}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right) \\ \therefore \mathrm{p}(\mathrm{x}) & =3 \mathrm{x}^2-2(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}) \mathrm{x}+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\end{aligned} p(x) রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে রাশিটি দ্বারা গঠিত সমীকরণের নিশ্চায়কের মান শূন্য হবে। অর্থাৎ, {−2(a+b+c)}2−4⋅3⋅(ab+bc+ca)=0\{-2(a+b+c)\}^{2}-4 \cdot 3 \cdot(a b+b c+c a)=0 বা, 4(a+b+c)2−12(ab+bc+ca)=04(a+b+c)^{2}-12(a b+b c+c a)=0 বা, 4(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)−12ab−12bc−12ca=04\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a\right)-12 a b-12 b c-12 c a=0 বা, 4a2+4b2+4c2+8ab+8bc+8ca−12ab−12bca=04 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}+8 a b+8 b c+8 c a-12 a b-12 b c a=0 বা, 4a2+4 b2+4c2−4ab−4bc−4ca=04 \mathrm{a}^{2}+4 \mathrm{~b}^{2}+4 \mathrm{c}^{2}-4 \mathrm{ab}-4 \mathrm{bc}-4 \mathrm{ca}=0 বা, 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=02 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a=0 বা, a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2=0a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}+c^{2}-2 c a+a^{2}=0 বা, (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 আমরা জানি, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হবে। অর্থাৎ, (a−b)2=0(\mathrm{a}-\mathrm{b})^2=0 বা, a−b=0a-b=0 ∴a=b\therefore \mathrm{a}=\mathrm{b} আবার, (b−c)2=0(b-c)^2=0  বা, b−c=0∴b=c\begin{gathered}\text{ বা, } b-c=0 \therefore b=c\end{gathered}  আবার, (c−a)2=0 বা, c−a=0∴c=a\begin{gathered}\text{ আবার, }(c-a)^2=0 \\ \text{ বা, } c-a=0 \\ \therefore c=a\end{gathered} ∴a=b=c\therefore \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, ax2+bx+c=0……….(i)\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0\ldots\ldots\ldots. (i) এবং cx2−2bx+4a=0……...(ii)\mathrm{cx}^{2}-2 \mathrm{bx}+4 \mathrm{a}=0\ldots\ldots... (ii) (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta এবং (ii)নং সমীকরণের মূলদ্বয় β,γ\beta, \gamma এখানে, (i) নং ও (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল β\beta ∴aβ2+bβ+c=0……...(iii)\therefore \mathrm{a} \beta^{2}+\mathrm{b} \beta+\mathrm{c}=0\ldots\ldots... (iii) cβ2−2bβ+4a=0………...(iv)c \beta^{2}-2 b \beta+4 a=0\ldots\ldots\ldots... (iv) এখন, (iii) ও (iv) নং হতে বজ্জগুণনের সূত্রানুসারে, α24ab+2bc=αc2−4a2=1−2ab−bc\frac{\alpha^{2}}{4 a b+2 b c}=\frac{\alpha}{c^{2}-4 a^{2}}=\frac{1}{-2 a b-b c} বা, α22(bc+2ab)=αc2−4a2=1−(bc+2ab)\frac{\alpha^{2}}{2(\mathrm{bc}+2 \mathrm{ab})}=\frac{\alpha}{\mathrm{c}^{2}-4 \mathrm{a}^{2}}=\frac{1}{-(\mathrm{bc}+2 \mathrm{ab})} ∴α22(bc+2ab)=αc2−4a2\therefore \frac{\alpha^{2}}{2(\mathrm{bc}+2 \mathrm{ab})}=\frac{\alpha}{\mathrm{c}^{2}-4 \mathrm{a}^{2}} বা, a=\frac{2(b c+2 a b)}{-4 a^{2}+c^{2}}=\frac{2 b(c+2 a)}{(c+2 a}(c-2 a)} আবার, α=c2−4a2−2ab−bc\alpha=\frac{c^{2}-4 a^{2}}{-2 a b-b c} =(c+2a)(c−2a)−b(2a+c)=\frac{(c+2 a)(c-2 a)}{-b(2 a+c)} \therefore \frac{2 b(c+2 a)}{(c+2 a}(c-2 a)}=\frac{(c+2 a)(c-2 a)}{-b(2 a+c)} বা, −2b2(c+2a)2=(c+2a)2(c−2a)2-2 b^{2}(c+2 a)^{2}=(c+2 a)^{2}(c-2 a)^{2} বা, (c+2a)2{−2b2−(c−2a)2}=0(c+2 a)^{2}\left\{-2 b^{2}-(c-2 a)^{2}\right\}=0 হয়, (2a+c)2=0(2 a+c)^{2}=0 ∴2a+c=0\therefore 2 \mathrm{a}+\mathrm{c}=0 অতএব, 2a+c=02 \mathrm{a}+\mathrm{c}=0 অথবা, −2b2−(c−2a)2=0-2 b^{2}-(c-2 a)^{2}=0 বা, (2a−c)2+2 b2=0(2 \mathrm{a}-\mathrm{c})^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}=0 অথবা (2a−c)2+2 b2=0(2 \mathrm{a}-\mathrm{c})^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}=0. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন