Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, r(p – q)3 = p(r – q)3

উত্তর: উদ্দীপক-২ হতে, [গণিত] ধরি, সমীকরণটির একটি মূল [গণিত] অপর মূল [গণিত] এবং [গণিত] (দেখানো হলো) বিকল্প পদ্ধতি: [গণিত] এবং [গণিত] দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, r(p – q)3 = p(r – q)3

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: x3 – 2x2+1=02x^2 + 1 = 0 সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c. উদ্দীপক-২: px2 + qx + r = 0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।

Rajshahi · 2021

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ: x2−x+k=0\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+\mathrm{k}=0 ∴D=(−1)2−4⋅k⋅1=1−4k\therefore \mathrm{D}=(-1)^{2}-4 \cdot \mathrm{k} \cdot 1=1-4 \mathrm{k} সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে, D≥0\mathrm{D} \geq 0 रবে ⇒1−4k≥0\Rightarrow 1-4 \mathrm{k} \geq 0 ⇒4k≤1\Rightarrow 4 \mathrm{k} \leq 1 ⇒k≤14\Rightarrow \mathrm{k} \leq \frac{1}{4}

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে, x3−2x2+1=0\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+1=0 সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c ∴a+b+c=2\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 ∴ab+bc+ca=0\therefore \mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=0 এবং abc=−1\mathrm{abc}=-1 এখন, ∑α2β=a2b+b2a+b2c+c2b+c2a+a2c\sum \alpha^{2} \beta=a^{2} b+b^{2} a+b^{2} c+c^{2} b+c^{2} a+a^{2} c =ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a b(a+b)+b c(b+c)+c a(c+a) =ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)−3abc=a b(a+b+c)+b c(a+b+c)+c a(a+b+c)-3 a b c =(a+b+c)(ab+bc+ca)−3abc=(a+b+c)(a b+b c+c a)-3 a b c =2×0−3(−1)=2 \times 0-3(-1) =3=3

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে, px2+qx+r=0\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 ধরি, সমীকরণটির একটি মূল α\alpha ∴\therefore অপর মূল α2\alpha^{2} ∴α+α2=−qp\therefore \alpha+\alpha^{2}=-\frac{q}{p} ⇒q=−p(α+α2)\Rightarrow \mathrm{q}=-\mathrm{p}\left(\alpha+\alpha^{2}\right) এবং α+α2=rp\alpha+\alpha^{2}=\frac{r}{p} ⇒α3=rp\Rightarrow \alpha^{3}=\frac{r}{p} ⇒r=pα3\Rightarrow \mathrm{r}=\mathrm{p} \alpha^{3} L.H.S=r(p−q)3L.H.S =r(p-q)^{3} =pα3{p+p(α+α2)}3=p \alpha^{3}\left\{p+p\left(\alpha+\alpha^{2}\right)\right\}^{3} =pα3p3(1+α+α2)3=p \alpha^{3} p^{3}\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)^{3} =p4α3(1+α+α2)3=p^{4} \alpha^{3}\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)^{3} RHS=p(r−q)3RHS =p(r-q)^{3} =p{pα3+p(α+α2)}3=p\left\{p \alpha^{3}+p\left(\alpha+\alpha^{2}\right)\right\}^{3} =p{p(α3+α+α2)}3=p\left\{p\left(\alpha^{3}+\alpha+\alpha^{2}\right)\right\}^{3} =p⋅p3{α(1+α+α2)}3=p \cdot p^{3}\left\{\alpha\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)\right\}^{3} =p4α3(1+α+α2)3=p^{4} \alpha^{3}\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)^{3} ∴ LHS = RHS.\therefore \text{ LHS }=\text{ RHS.} (দেখানো হলো) বিকল্প পদ্ধতি: α+α2=−qp\alpha+\alpha^{2}=-\frac{q}{p} এবং α+α2=rp\alpha+\alpha^{2}=\frac{r}{p} ⇒α3=rp\Rightarrow \alpha^{3}=\frac{r}{p} ∴(p−q)3(r−q)3=(p−qp)3(r−qp)3\therefore \frac{(p-q)^{3}}{(r-q)^{3}}=\frac{\left(\frac{p-q}{p}\right)^{3}}{\left(\frac{r-q}{p}\right)^{3}} =(1−qp)3(rp−qp)3=\frac{\left(1-\frac{q}{p}\right)^{3}}{\left(\frac{r}{p}-\frac{q}{p}\right)^{3}} =(1−α+α2)3(α3+α+α2)3=\frac{(1-\alpha+\alpha 2)^{3}}{\left(\alpha^{3}+\alpha+\alpha^{2}\right)^{3}} =(1−α+α2)3α3(1+α+α2)3=\frac{(1-\alpha+\alpha 2)^{3}}{\alpha^{3}\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)^{3}} =1α3=\frac{1}{\alpha^{3}} =1rp=\frac{1}{\frac{r}{p}} =pr=\frac{p}{r} ∴r(p−q)3=p(r−q)3⋅(\therefore \mathrm{r}(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{3}=\mathrm{p}(\mathrm{r}-\mathrm{q})^{3} \cdot( দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন