Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে তারা সমান হবে এবং সমান মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ এ, [গণিত] . সমীকরণ (1) এর নিশ্চায়ক D হলে, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, বাস্তব হবে যদি ও কেবল যদি [গণিত] হয়। [গণিত] হলে, [গণিত] অর্থাৎ মূলদ্বয় সমান হবে। ধরি, সমান মূলদ্বয় [গণিত] সুতরাং, [গণিত] বা, , [গণিত] নির্ণেয় সমান মূলদ্বয় [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে তারা সমান হবে…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=32+iz = 32 + i দৃশ্যকল্প-২ : (m2+n2)x2+2(mp+nq)x+p2+q2=0m^2 + n^2)x^2 + 2(mp+nq)x + p^2 + q^2 = 0

Chittagong · 2022

উত্তর

এখানে, a+ib=eiθa+i b=e^{i \theta} বা, a+ib=cos⁡θ+isin⁡θ[∵reiθ=rcos⁡θ+isin⁡θ]a+i b=\cos \theta+i \sin \theta\left[\because r e^{i \theta}=r \cos \theta+i \sin \theta\right] উভয় পক্ষ হতত বাস্তব 3 কাল্পনিক অংশের সহগগ সমীকৃত করে পাই, a=cos⁡θa=\cos \theta এবং b=sin⁡θb=\sin \theta এখন, a2+b2=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1a^{2}+b^{2}=\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta=1 সুতরাং a2+b2=1a^{2}+b^{2}=1. (দেখানো হলো) বিকল্প পদ্ধতি এখানে, a+ib=eiθa+i b=e^{i \theta} ∴a−ib=e−iθ\therefore \mathrm{a}-\mathrm{ib}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta} (i) নং ও (ii) নং গুণ করে পাই, (a+ib)(a−ib)=eiθ×e−iθ(a+i b)(a-i b)=e^{i \theta} \times e^{-i \theta} বা, a2−i2b2=eiθ−iθa^{2}-i^{2} b^{2}=e^{i \theta-i \theta} বা, a2+b2=e0a^{2}+b^{2}=e^{0} ∴a2+b2=1\therefore a^{2}+b^{2}=1. (দেখানো হলো)

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে z=32+iz=32+i zˉ=32−i[∵z=x+iy\bar{z}=32-i[\because z=x+ iy হলে zˉ=x−iy]\bar{z}=x-i y] এখন, z+z‾=32+i+32−i\mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}=32+\mathrm{i}+32-\mathrm{i} বা, z+zˉ=64z+\bar{z}=64 ধরি, x=z+zˉ3x=\sqrt[3]{z+\bar{z}} বা, x=643x=\sqrt[3]{64} বা, x3=64x^{3}=64 বা, x3−64=0x^{3}-64=0 বা, x3−(4)3=0x^{3}-(4)^{3}=0 বা, (x−4)(x2+4x+16)=0(x-4)\left(x^{2}+4 x+16\right)=0 হয়, (x−4)=0(\mathrm{x}-4)=0 ∴x=4\therefore \mathbf{x}=4 অথবা, x2+4x+16=0x^{2}+4 x+16=0  বা, x=−4±(4)2−4⋅1⋅162⋅1=−4±16−642=−4±−482=−4±43i2[∵i2=−1]=−2±23i\begin{aligned}& \text{ বা, } x=\frac{-4 \pm \sqrt{(4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} \\& =\frac{-4 \pm \sqrt{16-64}}{2}=\frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} \\& =\frac{-4 \pm 4 \sqrt{3} i}{2}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] \\& =-2 \pm 2 \sqrt{3} \mathbf{i}\end{aligned} z+z‾\mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}} এর ঘনমূলসমূহ 4,−2+23i,−2−23i4,-2+2 \sqrt{3} \mathrm{i},-2-2 \sqrt{3} \mathrm{i}.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ এ, )m2+n2)x2+2(mp+nq)x+p2+q2=0\left.) m^{2}+n^{2}\right) x^{2}+2(m p+n q) x+p^{2}+q^{2}=0. সমীকরণ (1) এর নিশ্চায়ক D হলে, D={2(mp+nq)}2−4⋅(m2+n2)⋅(p2+q2)D={2(mp+nq)}2−4(m2+n2)(p+m2+q2=4(m2p2+2mpqn+n2q2)−4(m2p2+m2q2+n2p2+n2q2)=4{m2p2+n2q2+2mnpq−m2p2−m2q2−n2p2−n2q2}=4{−m2q2+2mnpq−n2p2}=−4{(mq)2−2mq⋅np+(np)2}=−4(mq−np)2\begin{aligned}& D=\{2(m p+n q)\}^{2}-4 \cdot\left(m^{2}+n^{2}\right) \cdot\left(p^{2}+q^{2}\right) \\& D=\{2(m p+n q)\}^{2}-4\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(p+m^{2}+q^{2}\right. \\& =4\left(m^{2} p^{2}+2 m p q n+n^{2} q^{2}\right)-4\left(m^{2} p^{2}+m^{2} q^{2}+n^{2} p^{2}+n^{2} q^{2}\right) \\& =4\left\{m^{2} p^{2}+n^{2} q^{2}+2 m n p q-m^{2} p^{2}-m^{2} q^{2}-n^{2} p^{2}-n^{2} q^{2}\right\} \\& =4\left\{-m^{2} q^{2}+2 m n p q-n^{2} p^{2}\right\} \\& =-4\left\{(\mathrm{mq})^{2}-2 \mathrm{mq} \cdot \mathrm{np}+(\mathrm{np})^{2}\right\} \\& =-4(m q-n p)^{2}\end{aligned} এখন, −4(mq−np)2-4(m q-n p)^{2} বা, বাস্তব হবে যদি ও কেবল যদি mq−np2=0m q-n p^{2}=0 হয়। mq−np=0m q-n p=0 হলে, D=−4(0)2=0\mathrm{D}=-4(0)^{2}=0 অর্থাৎ মূলদ্বয় সমান হবে। ধরি, সমান মূলদ্বয় α\alpha সুতরাং, α+α=−2(mp+nq)m2+n2\alpha+\alpha=-\frac{2(\mathrm{mp}+\mathrm{nq})}{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}} বা, , 2α=−2(mp+nq)m2+n22 \alpha=-\frac{2(\mathrm{mp}+\mathrm{nq})}{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}} ∴α=−mp+nq m2+n2\therefore \alpha=-\frac{\mathrm{mp}+\mathrm{n} q}{\mathrm{~m}^{2}+\mathrm{n}^{2}} নির্ণেয় সমান মূলদ্বয় −mp+nqm2+n2-\frac{m p+n q}{m^{2}+n^{2}}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন