Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

f(x) = 0 এর একটি মূল, g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, 2a = c অথবা (2a + c)2 = 2b2

উত্তর: মনে করি, cx2 + bx + a = 0 এর একটি মূল [গণিত] তাহলে, শর্তানুযায়ী, ax2 + bx + c = 0 এর একটি মূল 2 [গণিত] । সুতরাং, [গণিত] দ্বারা cx2 + bx + a = 0 এবং 2 [গণিত] দ্বারা ax2 + bx + c = 0 সমীকরণ সিদ্ধ হবে। অর্থাৎ, [গণিত] ... (i) [গণিত] ... (ii) (i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন প্রক্রিয়ায় পাই, [গণিত] [১ম ও ২য় অনুপাত হতে] এবং [গণিত] [২য় ও ৩য় অনুপাত হতে] সুতরাং, আমরা পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, c-2a=0 অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

f(x) = 0 এর একটি মূল, g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, দেখ…

উদ্দীপক

যদি f(x) = ax2 + bx + c এবং g(x) = cx2 + bx + a হয় তবে,

Dhaka · 2017

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x) = ax2 + bx + c এখানে, f(x) = 0 বা, ax2 + bx + c = 0
…….(i)(i)\ldots\ldots. (i) (i)
নং সমীকরণটির সমাধান, x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} b² - 4ac এর সাহায্যে (i) নং সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি নিশ্চিতভাবে জানা যায়। (i) b2−4acb^2 - 4ac > 0 ও পূর্ণবর্গ হলে, মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে। (ii) b2−4acb^2 - 4ac < 0 হলে, মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে। (iii) b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। (iv) b2−4acb^2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ না হলে, মূলদ্বয় বাস্তব, অমূলদ ও অসমান হবে।

উত্তর

ax2 + bx + c = 0
……(i)(i)\ldots\ldots (i) (i)
নং সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে α+β=−ba\alpha+\beta=\frac{-b}{a} বা, aα+aβ=−ba \alpha+a \beta=-b বা, aα+b=−aβ\mathrm{a} \alpha+\mathrm{b}=-\mathrm{a} \beta…….(ii)\ldots\ldots. (ii) আবার, aβ+b=−aαa \beta+b=-a \alpha…….(iii)\ldots\ldots. (iii) এবং αβ=ca\alpha \beta=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} …….(iv)\ldots\ldots. (iv) এখন, (aα+b)−3+(aβ+b)−3=(−aβ)−3+(−aα)−3(\mathrm{a} \alpha+\mathrm{b})^{-3}+(\mathrm{a} \beta+\mathrm{b})^{-3}=(-\mathrm{a} \beta)^{-3}+(-\mathrm{a} \alpha)^{-3} \begin{aligned} & =-\frac{1}{a^3 \beta^3}-\frac{1}{a^3 \alpha^3} \\ & =-\frac{1}{a^3}\left(\frac{1}{\beta^3}+\frac{1}{\alpha^3}\right)=-\frac{1}{a^3}\left(\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha^3 \beta^3}\right) \\ & =-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{(\alpha+\beta)^3-3 \alpha \beta(\alpha+\beta)}{(\alpha \beta}^3}\right\} \\ & =-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{\left(\frac{-b}{a}\right)^3-3 \cdot \frac{c}{a} \cdot\left(\frac{-b}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^3}\right\} \\ & =-\frac{1}{a^3} \frac{\left(\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3 b c}{a^2}\right)}{\frac{c^3}{a^3}} \\ & =-\frac{1}{a^3}\left(\frac{-b^3+3 a b c}{a^3}\right) \times \frac{a^3}{c^3}\end{aligned} =b3−3abca3c3=\frac{b^3-3 a b c}{a^3 c^3} (দেখানো হলো)

উত্তর

মনে করি, cx2 + bx + a = 0 এর একটি মূল α\alpha তাহলে, শর্তানুযায়ী, ax2 + bx + c = 0 এর একটি মূল 2α\alpha। সুতরাং, α\alpha দ্বারা cx2 + bx + a = 0 এবং 2α\alpha দ্বারা ax2 + bx + c = 0 সমীকরণ সিদ্ধ হবে। অর্থাৎ, cα2+bα+a=0\mathrm{c} \alpha^2+\mathrm{b} \alpha+\mathrm{a}=0 ... (i) 4aα2+2 bα+c=04 \mathrm{a} \alpha^2+2 \mathrm{~b} \alpha+\mathrm{c}=0 ... (ii) (i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন প্রক্রিয়ায় পাই, α2bc−2ab=α4a2−c2=12bc−4ab\frac{\alpha^2}{b c-2 a b}=\frac{\alpha}{4 a^2-c^2}=\frac{1}{2 b c-4 a b} ∴α=bc−2ab4a2−c2\therefore \alpha=\frac{b c-2 a b}{4 a^2-c^2} [১ম ও ২য় অনুপাত হতে] এবং α=4a2−c22bc−4ab\alpha=\frac{4 a^2-c^2}{2 b c-4 a b} [২য় ও ৩য় অনুপাত হতে] সুতরাং, আমরা পাই, bc−2ab4a2−c2=4a2−c22bc−4ab\frac{b c-2 a b}{4 a^2-c^2}=\frac{4 a^2-c^2}{2 b c-4 a b} বা, (bc−2ab)(2bc−4ab)=(4a2−c2)2(b c-2 a b)(2 b c-4 a b)=\left(4 a^2-c^2\right)^2 বা, 2b2(c−2a)2=(c−2a)2(c+2a)22 b^2(c-2 a)^2=(c-2 a)^2(c+2 a)^2 বা, 2b2(c−2a)2−(c−2a)2(c+2a)2=02 b^2(\mathrm{c}-2 \mathrm{a})^2-(\mathrm{c}-2 \mathrm{a})^2(\mathrm{c}+2 \mathrm{a})^2=0 বা, (c−2a)2{2b2−(2a+c)2}=0(c-2 a)^2\left\{2 b^2-(2 a+c)^2\right\}=0 হয়, (c−2a)2=0(\mathrm{c}-2 \mathrm{a})^2=0 বা, c-2a=0 অথবা, 2 b2−(2a+c)2=02 \mathrm{~b}^2-(2 \mathrm{a}+\mathrm{c})^2=0 বা, (2a+c)2=2b2(2 a+c)^2=2 b^2 ∴2a=c\therefore 2 \mathrm{a}=\mathrm{c} ∴2a=c\therefore 2 \mathrm{a}=\mathrm{c} অথবা, (2a+c)2=2b2(2 a+c)^2=2 b^2 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন