Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] । (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 5x3−4x2+1=05 x^3-4 x^2+1=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β\alpha, \beta ও γ\gamma দৃশ্যকল্প-২ : x3−1=0\mathrm{x}^3-1=0 সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় a\mathrm{a} ও b\mathrm{b}

Sylhet · 2023

উত্তর

বামপক্ষ =sec⁡2(cot⁡−112)+cosec⁡⁡2(tan⁡−113)=\sec^2\left(\cot^{-1} \frac{1}{2}\right)+\operatorname{\cosec}^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{3}\right) =sec⁡2(tan⁡−12)+cosec⁡⁡2(cot⁡−13)=\sec^2\left(\tan^{-1} 2\right)+\operatorname{\cosec}^2\left(\cot^{-1} 3\right) ={1+tan⁡2(tan⁡−12)}+{1+cot⁡2(cot⁡−13)}=\left\{1+\tan^2\left(\tan^{-1} 2\right)\right\}+\left\{1+\cot^2\left(\cot^{-1} 3\right)\right\} =1+{tan⁡(tan⁡−12)}2+1+{cot⁡(cot⁡−13)}2=1+\left\{\tan \left(\tan^{-1} 2\right)\right\}^2+1+\left\{\cot \left(\cot^{-1} 3\right)\right\}^2 =2+22+32=2+4+9=15==2+2^2+3^2=2+4+9=15= ডানপক্ষ ∴sec⁡2(cot⁡−112)+cosec⁡⁡2(tan⁡−113)=15\therefore \sec^2\left(\cot^{-1} \frac{1}{2}\right)+\operatorname{\cosec}^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{3}\right)=15। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, 5x3−4x2+1=05 \mathrm{x}^3-4 \mathrm{x}^2+1=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β\alpha, \beta ও γ\gamma ∴α+β+γ=−−45=45\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5} αβ+βγ+γα=05=0\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{0}{5}=0 αβγ=−15\alpha \beta \gamma=-\frac{1}{5} Σα2β=α2β+α2γ+β2α+β2γ+γ2α+γ2β\Sigma \alpha^2 \beta=\alpha^2 \beta+\alpha^2 \gamma+\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta =(α2β+α2γ+αβγ)+(β2α+β2γ+αβγ)+(γ2α+γ2β+αβγ)−3αβγ=\left(\alpha^2 \beta+\alpha^2 \gamma+\alpha \beta \gamma\right)+\left(\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\alpha \beta \gamma\right)+\left(\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta+\alpha \beta \gamma\right)-3 \alpha \beta \gamma =α(αβ+βγ+γα)+β(αβ+βγ+γα)+γ(αβ+βγ+γα)−3αβγ=\alpha(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)+\beta(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)+\gamma(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)-3 \alpha \beta \gamma =(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)-3 \alpha \beta \gamma =45×0−3(−15)=35=\frac{4}{5} \times 0-3\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5} নির্ণেয় মান : 35\frac{3}{5}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ, x3−1=0x^3-1=0 বা, (x−1)(x2+x+1)=0(x-1)\left(x^2+x+1\right)=0 হয়, x−1=0x-1=0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1; যা বাস্তব মূল অথবা, x2+x+1=0x^2+x+1=0 x=−1±12−4⋅1⋅12⋅1x =\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} =−1±−32=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} =−1±3i2[∵i=−1]=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}[\because \mathrm{i}=\sqrt{-1}] =−1+3i2,−1−3i2=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3} i}{2} =ω,ω2=\omega, \omega^2 (ধরি) ∴\therefore সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয়, a=ωa=\omega এবং b=ω2b=\omega^2 এখন, an+bn=ωn+(ω2)n=ωn+ω2na^{\mathrm{n}}+b^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\left(\omega^2\right)^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\omega^{2 \mathrm{n}} এখাन, n=3 m\mathrm{n}=3 \mathrm{~m} হলে, an+bn=ω3 m+(ω2)3 m\mathrm{a}^{\mathrm{n}}+\mathrm{b}^{\mathrm{n}}=\omega^{3 \mathrm{~m}}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}} =(ω3)m+(ω3)2 m=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}}+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} =1+1[∵ω3=0]=1+1\left[\because \omega^3=0\right] =2=2 n=3m+1n=3 m+1 হলে, an+bn=ω3m+1+(ω2)3m+1a^n+b^n=\omega^{3 m+1}+\left(\omega^2\right)^{3 m+1} =(ω3)m⋅ω+(ω03)2m⋅ω2=\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega_0^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 =ω+ω2[∵ω3=1]=\omega+\omega^2\left[\because \omega^3=1\right] =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] n=3m+2n=3 m+2 হলে, an+bn=ω3m+2+(ω2)3m+2a^n+b^n=\omega^{3 m+2}+\left(\omega^2\right)^{3 m+2} =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^2\right)^2 =1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω2=1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega^3 \cdot \omega^2 =ω2+ω[∵ω3=1]=\omega^2+\omega\left[\because \omega^3=1\right] =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] অর্থাৎ, n\mathrm{n} এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, an+bn=2a^n+b^n=2 অথবা, n এর মান অন্য কোন পূর্ণসংখ্যা হলে, an+bn=−1a^n+b^n=-1. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti