Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে; [গণিত] , যখন [গণিত] এককের একটি জটিল ঘনমূল।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রশ্নমতে, [গণিত] এখন, বামপক্ষ [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে; , যখন এককের একটি জটিল ঘনমূল।

উদ্দীপক

f(x)=a+bx+cx2, g(x)=px2+qx+rf(x)=\mathrm{a}+\mathrm{bx}+\mathrm{cx}^{2}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}.

Barisal · 2023

উত্তর

প্রদত্ত রাশি, ={92(±2i)}24={92(1±2i+i2)}24=\sqrt[4]{\left\{\frac{9}{2}( \pm 2 i)\right\}^{2}}=\sqrt[4]{\left\{\frac{9}{2}\left(1 \pm 2 i+i^{2}\right)\right\}^{2}} ={92(1±i)2}12=\left\{\frac{9}{2}(1 \pm i)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} =±92(1±i)=±32(1±i)= \pm \sqrt{\frac{9}{2}}(1 \pm i)= \pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1 \pm i) নির্ণেয় মান : ±32(1±i)\pm \frac{3}{\sqrt{2}}(1 \pm i).

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a+bx+cx2f(x)=a+b x+c x^{2} f(1)=a+b+cf(1)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} প্রশ্নমতে, f(1)=0f(1)=0 ∴a+b+c=0\therefore \quad \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 এখন, বামপক্ষ ={f(ω)}3+{f(ω2)}3=\{f(\omega)\}^{3}+\left\{f\left(\omega^{2}\right)\right\}^{3} ={f(ω+bω+cω2)3+(a+bω2+cω4)3=\left\{f\left(\omega+b \omega+c \omega^{2}\right)^{3}+\left(a+b \omega^{2}+c \omega^{4}\right)^{3}\right. =(a+bω+cω2)3+(a+bω2+cω)3=\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right)^{3}+\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)^{3} ধরি, a+bω+cω2=xa+b \omega+c \omega^{2}=x এবং a+bω2+cω=ya+b \omega^{2}+c \omega=y ∴x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)\therefore x^{3}+y^{3} =(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) =(x+y){x2+(ω+ω2)xy+ω3y2}[∵1+ω+ω2=0]=(x+y)\left\{x^{2}+\left(\omega+\omega^{2}\right) x y+\omega^{3} y^{2}\right\}\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =(x+y)(x+ωy)(x+ω2y)=(x+y)(x+\omega y)\left(x+\omega^{2} y\right) এখন, x+y=2a+b(ω+ω2)+c(ω+ω2)x+y =2 a+b\left(\omega+\omega^{2}\right)+c\left(\omega+\omega^{2}\right) =2a−b−c=2 a-b-c x+ωy=a+bω+cω2+aω+bω3+cω2x+\omega y=a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega+b \omega^{3}+c \omega^{2} =a(1+ω)+b(1+ω)+2cω2=a(1+\omega)+b(1+\omega)+2 c \omega^{2} =−aω2−bω2+2cω2=-a \omega^{2}-b \omega^{2}+2 c \omega^{2} =(−a−b+2c)ω2=(-a-b+2 c) \omega^{2} x+ω2y=a+bω+cω2+aω2+bω4+cω3x+\omega^{2} y=a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega^{2}+b \omega^{4}+c \omega^{3} =a(1+ω2)+b(ω+ω)+c(1+ω2)=a\left(1+\omega^{2}\right)+b(\omega+\omega)+c\left(1+\omega^{2}\right) =−aω+2bω−cω=-a \omega+2 b \omega-c \omega =(−a+2b−c)ω=(-a+2 b-c) \omega ∴(a+bω+cω2)3+(a+bω2)3\therefore\left(a+b \omega+c \omega^2\right)^3+\left(a+b \omega^2\right)^3 =(2 b−a−c)(2aq−b−c)(2c−a−b)ω3=(2 \mathrm{~b}-\mathrm{a}-\mathrm{c})(2 \mathrm{aq}-\mathrm{b}-\mathrm{c})(2 \mathrm{c}-\mathrm{a}-\mathrm{b}) \omega^3 =(2 b−a−c)(2a−b−c)(2c−a−b)=(2 \mathrm{~b}-\mathrm{a}-\mathrm{c})(2 \mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c})(2 \mathrm{c}-\mathrm{a}-\mathrm{b}) ={(3 b−(a+b+c)}{3a−(a+b+c)}{3c−(a+b+c)}=\{(3 \mathrm{~b}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\}\{3 \mathrm{a}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\}\{3 \mathrm{c}-(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\} =(3 b−0)(3a−0)(3c−0)[∵a+b+c=0]=(3 \mathrm{~b}-0)(3 \mathrm{a}-0)(3 \mathrm{c}-0)[\because a+b+c=0] =3 b⋅3a⋅3c=3 \mathrm{~b} \cdot 3 \mathrm{a} \cdot 3 \mathrm{c} =27abc=27 \mathrm{abc} ∴{f(ω)}3+{f(ω2)}3=27abc\therefore\{\mathrm{f}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{f}\left(\omega^2\right)\right\}^3=27 \mathrm{abc} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=px2+qx+rg(x)=p x^{2}+q x+r এবং g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, px2+qx+r=0\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 সমীকরণটির মূলদ্বয় γ\gamma ও δ\delta ∴γ+δ=−qp\therefore \quad \gamma+\delta=-\frac{q}{p} এবং γδ=rp\gamma \delta=\frac{r}{p} এখানে, rp(x2+1)−(q2−2rp)x=0r p\left(x^{2}+1\right)-\left(q^{2}-2 r p\right) x=0 বা, rp(x2+1)+(2⋅rp−q2p2)x=0[p2\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)+\left(2 \cdot \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}-\frac{\mathrm{q}^{2}}{\mathrm{p}^{2}}\right) \mathrm{x}=0\left[\mathrm{p}^{2}\right. দ্বারা ভাগ করে] বা, γδ(x2+1)+{2γδ−(γ+δ)2}x=0\gamma \delta\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)+\left\{2 \gamma \delta-(\gamma+\delta)^{2}\right\} \mathrm{x}=0 বা, γδ(x2+1)−{(γ+δ)2−2γδ}x=0\gamma \delta\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)-\left\{(\gamma+\delta)^{2}-2 \gamma \delta\right\} \mathrm{x}=0 বা, γδ(x2+1)−{(γ2+δ2)x=0\gamma \delta\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)-\left\{\left(\gamma^{2}+\delta^{2}\right) \mathrm{x}=0\right. বা, γδx2+γδ−γ2x−δ2x=0\gamma \delta \mathrm{x}^{2}+\gamma \delta-\gamma^{2} \mathrm{x}-\delta^{2} \mathrm{x}=0 বা, γδx2−γ2x−δ2x+γδ=0\gamma \delta \mathrm{x}^{2}-\gamma^{2} \mathrm{x}-\delta^{2} \mathrm{x}+\gamma \delta=0 বা, γx(δx−γ)−δ(δx−γ)=0\gamma \mathrm{x}(\delta \mathrm{x}-\gamma)-\delta(\delta \mathrm{x}-\gamma)=0 বা, (δx−γ)(γx−δ)=0(\delta \mathrm{x}-\gamma)(\gamma \mathrm{x}-\delta)=0 ∴\therefore शয় δx−γ=0\delta \mathrm{x}-\gamma=0 বা, δx−γ\delta x-\gamma x=γδ\mathrm{x}=\frac{\gamma}{\delta} অথবা, γx−δ=0\gamma \mathrm{x}-\delta=0 বা, γx=δ\gamma x=\delta ∴x=δγ\therefore \mathrm{x}=\frac{\delta}{\gamma} ∴\therefore সমীকরণের মূলদ্বয় γ,δ\gamma, \delta এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো। নির্ণেয় মূলদ্বয় : γδ,δγ\frac{\gamma}{\delta}, \frac{\delta}{\gamma}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন