Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

f(x)=0f(x)=0f(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, দেখাও যে,g(x)=0g(x)=0 g(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে।

উত্তর: এখানে, [গণিত] এবং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে নিশচায়ক > 0 হবে। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] সমীকরণ (2) এর নিশ্চায়ক [গণিত] এখানে, [গণিত] সর্বদা ধনাত্মক এবং [গণিত] কাজেই [গণিত] অর্থাৎ নিশ্চায়ক < 0 সুতরাং সমীকরণ (2) এর মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

f(x)=0f(x)=0f(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, দেখাও যে…

উদ্দীপক

f(x)=px2+2qx+r,g(x)=x2+(p+r)x+(p2+r2+2q2)f(x)=p x^{2}+2 q x+r, g(x)=x^{2}+(p+r) x+\left(p^{2}+r^{2}+2 q^{2}\right) এবং M(y)=8y3−M(y)=8 y^{3}-

Jessore · 2022

উত্তর

এখানে, x2−6x+25=0x^{2}-6 x+25=0 ∴x=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅252⋅1\therefore \mathrm{x}=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} [∵a2+bx+c=0\left[\because a^{2}+b x+c=0\right. এর মূলদ্বয় =−b±b2−4ac2a]\left.=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right] =6±36−1002=6±−642=6±8i2=62±8i2=3±4i=\frac{6 \pm \sqrt{36-100}}{2}=\frac{6 \pm \sqrt{-64}}{2}=\frac{6 \pm 8 \mathrm{i}}{2}=\frac{6}{2} \pm \frac{8 \mathrm{i}}{2}=3 \pm 4 \mathrm{i} নির্ণেয় মান: x=3±4ix=3 \pm 4 \mathrm{i}.

উত্তর

এখানে, f(x)=px2+2qx+r\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+2 \mathrm{qx}+\mathrm{r} এবং f(x)=0\mathrm{f}(\mathrm{x})=0 অর্থাৎ px2+2qx+r=0……...(i)\mathrm{px}^{2}+2 \mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 \ldots\ldots... (i) সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে নিশচায়ক > 0 হবে। অর্থাৎ, (2q)2−4⋅p⋅r>0(2 q)^{2}-4 \cdot p \cdot r>0 বা, 4q2−4pr>04 q^{2}-4 p r>0 বা, q2−pr>0q^{2}-p r>0 আবার, g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, x2+(p+r)x+(p2+r2+2q2)=0……..(ii)x^{2}+(p+r) x+\left(p^{2}+r^{2}+2 q^{2}\right)=0 \ldots\ldots.. (ii) সমীকরণ (2) এর নিশ্চায়ক =(p+r)2−4⋅1⋅(p2+r2+2q2)=(p+r)^{2}-4 \cdot 1 \cdot\left(p^{2}+r^{2}+2 q^{2}\right) =p2+2pr+r2−4p2−4r2−8q2=−3p2−3r2−8q2+2pr=−3p2−3r2−8(q2−pr)−6pr=−3(p2+2pr+r2)−8(q2−pr)=−3(p+r)2−8(q2−pr)\begin{aligned}& =p^{2}+2 p r+r^{2}-4 p^{2}-4 r^{2}-8 q^{2} \\& =-3 p^{2}-3 r^{2}-8 q^{2}+2 p r \\& =-3 p^{2}-3 r^{2}-8\left(q^{2}-p r\right)-6 p r \\& =-3\left(p^{2}+2 p r+r^{2}\right)-8\left(q^{2}-p r\right) \\& =-3(p+r)^{2}-8\left(q^{2}-p r\right)\end{aligned} এখানে, (p+r)2(p+r)^{2} সর্বদা ধনাত্মক এবং q2−pr>0q^{2}-p r>0 কাজেই −3(p+r)2−8(q2−pr)<0-3(p+r)^{2}-8\left(q^{2}-p r\right)<0 অর্থাৎ নিশ্চায়ক < 0 সুতরাং সমীকরণ (2) এর মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে। (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, M(y)=8y3−42y2+63y−27M(y)=8 y^{3}-42 y^{2}+63 y-27 ∴M(x)=8x3−42x2+63x−27\therefore \mathrm{M}(\mathrm{x})=8 \mathrm{x}^{3}-42 \mathrm{x}^{2}+63 \mathrm{x}-27 এখন, M(x)=0\mathrm{M}(\mathrm{x})=0 বা, 8x3−42x2+63x−27=0……(1)8 x^{3}-42 x^{2}+63 x-27=0 \ldots\ldots (1) ধরি, সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় πr,α,αr\frac{\pi}{r}, \alpha, \alpha r সুতরাং, αr⋅α⋅αr=−−278\frac{\alpha}{\mathrm{r}} \cdot \alpha \cdot \alpha \mathrm{r}=-\frac{-27}{8} বা, α3=278\alpha^{3}=\frac{27}{8} ∴α=32\therefore \alpha=\frac{3}{2} আবার, αr+α+αr=−−428=214\frac{\alpha}{r}+\alpha+\alpha r=-\frac{-42}{8}=\frac{21}{4} বা, α(1r+1+r)=214\alpha\left(\frac{1}{r}+1+r\right)=\frac{21}{4} বা, 32(1+r+r2r)=214\frac{3}{2}\left(\frac{1+\mathrm{r}+\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{r}}\right)=\frac{21}{4} বা, 1+r+r2r=72\frac{1+\mathrm{r}+\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{r}}=\frac{7}{2} বা, 2+2r+2r2=7r2+2 r+2 r^{2}=7 r বা, 2r2−5r+2=02 r^{2}-5 r+2=0 বা, 2r2−4r−r+2=02 r^{2}-4 r-r+2=0 বা, 2r(r−2)−1(r−2)=02 r(r-2)-1(r-2)=0 বা, (2r−1)(r−2)=0(2 r-1)(r-2)=0 হয়, 2r−1=02 r-1=0 \quad অথবা, r−2=0r-2=0 বা, r=12r=\frac{1}{2} \quad বা, r=2r=2 এখন, r=12\mathrm{r}=\frac{1}{2} হলে, αr=3×22=3\frac{\alpha}{\mathrm{r}}=\frac{3 \times 2}{2}=3 αr=32×12=34\alpha r=\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4} ∴\therefore \quad মূলত্রয় 3,32,343, \frac{3}{2}, \frac{3}{4} আবার, r = 2 হলে, αr=32×2=34\frac{\alpha}{\mathrm{r}}=\frac{3}{2 \times 2}=\frac{3}{4}, ar =32×2=3=\frac{3}{2} \times 2=3 ∴\therefore \quad মূলত্রয় 34,32,3\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3 নির্ণেয় মূলত্রয় : 3,32,343, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন