Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, [গণিত] সমীকরণের নিশ্চায়ক = [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পকক [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে .

উদ্দীপক

মনে করি, কয়েকটি এক চলকবিশিষ্ট বহুপদী f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c, g(x)=cx2+bx+ag(x)=c x^2+b x+a এবং h(x)=x3+3ax2+x+1h(x)=x^3+3 a x^2+x+1

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

(h2−a2)x2−2hkx+k2−b2\left(h^2-a^2\right) x^2-2 h k x+k^2-b^2 রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, (h2−a2)x2−2hkx+(k2−b2)=0\left(h^2-a^2\right) x^2-2 h k x+\left(k^2-b^2\right)=0 সমীকরণের নিশ্চায়ক = 00 বা. (−2hk)2−4⋅(h2−a2)(k2−b2)=0(-2 h k)^2-4 \cdot\left(h^2-a^2\right)\left(k^2-b^2\right)=0 বা, 4h2k2−4(h2k2−h2b2−a2k2+a2b2)=04 h^2 k^2-4\left(h^2 k^2-h^2 b^2-a^2 k^2+a^2 b^2\right)=0 বা, h2k2−h2k2+h2b2+a2k2−a2b2=0h^2 k^2-h^2 k^2+h^2 b^2+a^2 k^2-a^2 b^2=0 বা, h2b2+a2k2=a2b2h^2 b^2+a^2 k^2=a^2 b^2 বা, h2b2a2b2+a2k2a2b2=a2b2a2b2\frac{h^2 b^2}{a^2 b^2}+\frac{a^2 k^2}{a^2 b^2}=\frac{a^2 b^2}{a^2 b^2} [উভয়পকক a2b2a^2 b^2 দ্বারা ভাগ করে] ∴h2a2+k2 b2=1\therefore \quad \frac{\mathrm{h}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{~b}^2}=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=0f(x)=0 বা, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 …...(i)\ldots...(i) ধরি, (i)(i) নং এর একটি মূল 3α3 \alpha ∴a(3α)2+b(3α)+c=0\therefore \quad a(3 \alpha)^2+b(3 \alpha)+c=0 বা, 9aα2+3bα+c=09 a \alpha^2+3 b \alpha+c=0 …...(ii)\ldots...(ii) এবং g(x)=0g(x)=0 বা, cx2+bx+a=0c x^2+b x+a=0 …...(iii)\ldots...(iii) ধরি, (iii)(iii) নং এর একটি মূল α\alpha cα2+bα+a=0c \alpha^2+b \alpha+a=0 দেওয়া আছে, f(x)=0f(x)=0 বা, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 …...(i)\ldots...(i) ধরি, (i)(i) নং এর একটি মূল 3α3 \alpha ∴a(3α)2+b(3α)+c=0\therefore \quad a(3 \alpha)^2+b(3 \alpha)+c=0 বা, 9aα2+3bα+c=09 a \alpha^2+3 b \alpha+c=0 …...(ii)\ldots...(ii) এবং g(x)=0g(x)=0 বা, cx2+bx+a=0c x^2+b x+a=0 …...(iii)\ldots...(iii) ধরি, (iii)(iii) নং এর একটি মূল α\alpha cα2+bα+a=0c \alpha^2+b \alpha+a=0…...(iv)\ldots...(iv) (iii)(iii) ও (iv)(iv) নং হতে বজ্রগুণনের নিয়মানুসারে পাই, α23ab−bc=αc2−9a2=19ab−3bc\frac{\alpha^2}{3 a b-b c}=\frac{\alpha}{c^2-9 a^2}=\frac{1}{9 a b-3 b c} (c2−9a2)2=(3ab−bc)(9ab−3bc)\left(c^2-9 a^2\right)^2=(3 a b-b c)(9 a b-3 b c) [∵x2a=xb=1c\left[\because \frac{x^2}{a}=\frac{x}{b}=\frac{1}{c}\right. হলে , b2=ac]b^2= ac ] বা, (9a2−c2)2=b(3a−c)⋅3b(3a−c)\left(9 a^2-c^2\right)^2=b(3 a-c) \cdot 3 b(3 a-c) বা, (3a+c)2(3a−c)2=3b2(3a−c)2(3 a+c)^2(3 a-c)^2=3 b^2(3 a-c)^2 বা, (3a+c)2(3a−c)2−3b2(3a−c)2=0(3 a+c)^2(3 a-c)^2-3 b^2(3 a-c)^2=0 বা, (3a−c)2{(3a+c)2−3b2}=0(3 a-c)^2\left\{(3 a+c)^2-3 b^2\right\}=0 অথবা, (3a+c)2−3b2=0(3 a+c)^2-3 b^2=0 বা, (3a+c)2=3b2(3 a+c)^2=3 b^2 হয় , (3a−c)2=0(3 a-c)^2=0 বा, 3a−c=03 \mathrm{a}-\mathrm{c}=0 বा, 3a=c3 \mathrm{a}=\mathrm{c} ∴c=3a\therefore \quad c=3 a অথবা 3b2=(c+3a)23 b^2=(c+3 a)^2. ( দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=0\mathrm{h}(\mathrm{x})=0 বা, x3+3ax2+x+1=0x^3+3 a x^2+x+1=0 …..(i)\ldots..(i) মূলগুলো সমান্তর প্রগমণভুক্ত। ধরি, মূলগুলো b−d,b,b+db-d, b, b+d ∴\therefore মূল তিনটির যোগফল =b−d+b+b+d=3 b=\mathrm{b}-\mathrm{d}+\mathrm{b}+\mathrm{b}+\mathrm{d}=3 \mathrm{~b} প্রশ্নমতে, 3b=−3a3 \mathrm{b}=-3 \mathrm{a} বা, b=−ab=-a b একটি মূল ∴\therefore x=−ax = - a (i) নং এ x=−a\mathrm{x}=-\mathrm{a} বসিয়ে পাই, (−a)3+3a(−a)2+(−a)+1=0(-\mathrm{a})^3+3 \mathrm{a}(-\mathrm{a})^2+(-\mathrm{a})+1=0 বা, −a3+3a3−a+1=0-a^3+3 a^3-a+1=0 বা, 2a3−a+1=02 a^3-a+1=0 বा, 2a3+2a2−2a2−2a+a+1=02 a^3+2 a^2-2 a^2-2 a+a+1=0 বা, 2a2(a+1)−2(a+1)+1(a+1)=02 a^2(a+1)-2(a+1)+1(a+1)=0 বা, (a+1)(2a2−2a+1)=0(a+1)\left(2 a^2-2 a+1\right)=0 হয়, a+1=0. ∴a=−1\therefore \quad a=-1 অথবা, 2a2−2a+1=02 \mathrm{a}^2-2 \mathrm{a}+1=0 ∴\therefore একটি মূল b=−a=−(−1)=1\mathrm{b}=-\mathrm{a}=-(-1)=1 a=−1\mathrm{a}=-1 হলে, (i)(i) নং সমীকরণ হতে পাই, x3−3x2+x+1=0\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1=0 বা, x3−3x2+x+1=0x^3-3 x^2+x+1=0 বা, x3−x2−2x2+2x−x+1=0x^3-x^2-2 x^2+2 x-x+1=0 বা, x2(x−1)−2x(x−1)−1(x−1)=0x^2(x-1)-2 x(x-1)-1(x-1)=0 বা, (x2−2x−1)(x−1)=0\left(x^2-2 x-1\right)(x-1)=0 হয়, x2−2x−1=0x^2-2 x-1=0 বा, x=−(−2)±(−2)2−4⋅1⋅(−1)2⋅1x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2 \cdot 1} অথবা, x−1=0x-1=0 ∴x=1\therefore \quad x=1 =2±82=2±222=1±2=1+2,1−2=\frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=1 \pm \sqrt{2}=1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2} নির্ণেয় a=−1\mathrm{a}=-1 এবং মূলগুলো 1−2,1,1+21-\sqrt{2}, 1,1+\sqrt{2}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন