Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে , [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে ,

উদ্দীপক

দুইটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x এবং h(x)=sin⁡xh(x)=\sin x.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=sin⁡x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} ∴h−1(x)=sin⁡−1x\therefore \quad h^{-1}(x)=\sin^{-1} x এবং h−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1(cos⁡2θ)h^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta})=\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) বামপক্ষ =h−1(2sin⁡θ)+h−1(cos⁡2θ)=h^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+h^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) =sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1{2sin⁡θ1−(cos⁡2θ)2+cos⁡2θ1−(2sin⁡θ)2=sin⁡−1{2sin⁡θ1−cos⁡2θ+cos⁡2θ1−2sin⁡2θ}=sin⁡−1{2sin⁡θ2sin⁡2θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ}=sin⁡−1{2sin⁡2θ+cos⁡2θ}=sin⁡−1(1−cos⁡2θ+cos⁡2θ)\begin{aligned} & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-(\sqrt{\cos 2 \theta})^2}+\sqrt{\cos 2 \theta} \sqrt{1-(\sqrt{2} \sin \theta)^2}\right. \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-\cos 2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \sqrt{1-2 \sin^2 \theta}\right\} \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{2 \sin^2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{\cos 2 \theta}\right\} \\ & =\sin^{-1}\left\{2 \sin^2 \theta+\cos 2 \theta\right\} \\ & =\sin^{-1}(1-\cos 2 \theta+\cos 2 \theta)\end{aligned} =sin⁡−1(1)=π2==\sin^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}= ডানপক্ষ ∴h−1(2sin⁡θ)+h−1(cos⁡2θ)=π2\therefore h^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+h^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta})=\frac{\pi}{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡x,h(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} बヌ? g(πh(θ))=h(πg(θ))g(\pi h(\theta))=h(\pi g(\theta)) বা, g(πsin⁡θ)=h(πcos⁡θ)\mathrm{g}(\pi \sin \theta)=\mathrm{h}(\pi \cos \theta) বা, cos⁡(πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\cos (\pi \sin \theta)=\sin (\pi \cos \theta) বা, sin⁡(π2±πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta\right)=\sin (\pi \cos \theta) বা, π2±πsin⁡θ=πcos⁡θ\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta=\pi \cos \theta বা, 12±sin⁡θ=cos⁡θ\frac{1}{2} \pm \sin \theta=\cos \theta বা, cos⁡θ±sin⁡θ=12\cos \theta \pm \sin \theta=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡θ±12sin⁡θ=122\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡π4⋅cos⁡θ±sin⁡π4sin⁡θ=122\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \theta \pm \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বा, cos⁡(θ±π4)=122\cos \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বा, θ±π4=cos⁡−1122\theta \pm \frac{\pi}{4}=\cos^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}} ∴θ=±π4+cos⁡−1122\therefore \quad \theta= \pm \frac{\pi}{4}+\cos^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡x,h(x)=sin⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং 4g(x)⋅g(2x)⋅g(3x)=h(π2)4 g(x) \cdot g(2 x) \cdot g(3 x)=h\left(\frac{\pi}{2}\right) বা, 4cos⁡x⋅cos⁡2x⋅cos⁡3x=sin⁡π24 \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x=\sin \frac{\pi}{2} বা, 2cos⁡2x(2cos⁡3x⋅cos⁡x)=12 \cos 2 x(2 \cos 3 x \cdot \cos x)=1 বা, 2cos⁡2x{cos⁡(3x+x)+cos⁡(3x−x)}=12 \cos 2 x\{\cos (3 x+x)+\cos (3 x-x)\}=1 বা, 2cos⁡2x(cos⁡4x+cos⁡2x)=12 \cos 2 x(\cos 4 x+\cos 2 x)=1 বা, 2cos⁡2x⋅cos⁡4x+2cos⁡22x=12 \cos 2 x \cdot \cos 4 x+2 \cos^2 2 x=1 বা, 2cos⁡2x⋅cos⁡4x+1+cos⁡(2.2x)=02 \cos 2 x \cdot \cos 4 x+1+\cos (2.2 x)=0 বা, 2cos⁡2x⋅cos⁡4x+1+cos⁡4x=12 \cos 2 x \cdot \cos 4 x+1+\cos 4 x=1 বা, cos⁡4x(2cos⁡2x+1)=0\cos 4 x(2 \cos 2 x+1)=0 বা, 4x=(2n+1)π24 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানেn∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=(2n+1)π8\therefore \quad x=(2 n+1) \frac{\pi}{8} অথবা, 2cos⁡2x+1=02 \cos 2 x+1=0 বा, cos⁡2x=−12=cos⁡2π3\cos 2 x=\frac{-1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, 2x=2nπ±2π32 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=nπ±π3\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3} n=0\mathrm{n}=0 হলে , x=π8,π3,−π3\mathrm{x}=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} n=1n=1 হলে, x=3π8,4π3,2π3x=\frac{3 \pi}{8}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3} n=−1n=-1 হলে , x=−π8,−2π3,−4π3x=-\frac{\pi}{8},-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3} n=2n=2 হলে , x=5π8,7π3,5π3\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} n=3\mathrm{n}=3 হলে, x=7π8,10π3,8π3\mathrm{x}=\frac{7 \pi}{8}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3} n=4\mathrm{n}=4 হলে, x=9π8,13π3,11π3x=\frac{9 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3} n=5\mathrm{n}=5 হলে,x=11π8,16π3,14π3x=\frac{11 \pi}{8}, \frac{16 \pi}{3}, \frac{14 \pi}{3} n=6\mathrm{n}=6 হলে,x=13π8,19π3,17π3x=\frac{13 \pi}{8}, \frac{19 \pi}{3}, \frac{17 \pi}{3} n=7\mathrm{n}=7 হলে,x=15π8,22π3,20π3x=\frac{15 \pi}{8}, \frac{22 \pi}{3}, \frac{20 \pi}{3} n=8\mathrm{n}=8 হলে,x=17π3,25π3,23π3x=\frac{17 \pi}{3}, \frac{25 \pi}{3}, \frac{23 \pi}{3} (0,2π)(0,2 \pi) ব্যবধিতে n=π8,π3,3π8,4π3,2π3,5π8,5π3,7π8,9π8,11π8,13π8,15π8\mathrm{n}=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}, \frac{9 \pi}{8}, \frac{11 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{8}, \frac{15 \pi}{8} নির্ণেয় সমাধান : π8,π3,3π84π3,2π3,5π8,5π3,7π8,9π8,11π8,13π8,15π8\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8} \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}, \frac{9 \pi}{8}, \frac{11 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{8}, \frac{15 \pi}{8}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন