Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

কোন শর্তে [গণিত] এর মূলদ্বয় বাস্তব হবে?

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] নিশ্চায়ক [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে, নিচায়ক [গণিত] , মূলদ্বয় বাত্তব হবে। [গণিত] হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

কোন শর্তে এর মূলদ্বয় বাস্তব হবে?

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 2x2−2(p+q)x+(p2+q2)=02 x^2-2(p+q) x+\left(p^2+q^2\right) \stackrel{ }{=} 0 নিশ্চায়ক ={−2(p+q)}2−4×2(p2+q2)=\{-2(p+q)\}^2-4 \times 2\left(p^2+q^2\right) =4(p+q)2−8(p2+q2)=4(p2+2pq+q2−2p2−2q2)=4(−p2+2pq−q2)=−4(p2−2pq+q2)=−4(p−q)2\begin{aligned} & =4(p+q)^2-8\left(p^2+q^2\right)=4\left(p^2+2 p q+q^2-2 p^2-2 q^2\right) \\ & =4\left(-p^2+2 p q-q^2\right)=-4\left(p^2-2 p q+q^2\right)=-4(p-q)^2\end{aligned} এখানে, p=qp=q হলে, নিচায়ক =−4(q,−q)2=0=-4(q,-q)^2=0, মূলদ্বয় বাত্তব হবে। ∴p=q\therefore \quad \mathrm{p}=\mathrm{q} হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c f(x)=0f(x)=0 হলে, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 এর মূল দুইটি α\alpha ও β\beta ∴α+β=−ba\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{b}{a} এবং αβ=ca\alpha \beta=\frac{c}{a} এখন , ac(x2+1)−(b2−2ac)x=0a c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 a c\right) x=0 বা, ca(x2+1)−(b2a2−2ca)x=0\frac{c}{a}\left(x^2+1\right)-\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2 c}{a}\right) x=0 [উভয়পক্ষকে a2a^2 দ্বারা ভাগ করে] বা, αβx2+αβ−{(α+β)2−2αβ}x=0\alpha \beta x^2+\alpha \beta-\left\{(\alpha+\beta)^2 - 2 \alpha \beta\right\} x=0 বা, αβx2+αβ−(α2+β2)x=0\alpha \beta x^2+\alpha \beta-\left(\alpha^2+\beta^2\right) x=0 বा, αβx2−α2x+αβ−β2x=0\alpha \beta x^2-\alpha^2 x+\alpha \beta-\beta^2 x=0 বা, αx(βx−α)−β(βx−α)=0\alpha x(\beta x-\alpha)-\beta(\beta x-\alpha)=0 বা, (βx−α)(αx−β)=0(\beta x-\alpha)(\alpha x-\beta)=0 হয় ⋅βx−α=0\cdot \beta x-\alpha=0 \quad অথবা, αx−β=0\alpha x-\beta=0 বा, x=αβx=\frac{\alpha}{\beta} \quad বा, x=βαx=\frac{\beta}{\alpha} ∴x=αβ\therefore \quad x=\frac{\alpha}{\beta} এবং βα\frac{\beta}{\alpha}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c f(x)=0f(x)=0 হলে, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 বা, 27x2+6x−(α+2)=0[∵a=27,b=6,c=−(α+2)]27 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}-(\alpha+2)=0 \quad[\because a=27, b=6, c=-(\alpha+2)] ধরি, একটি মূল β\beta এবং অপর মূল β2\beta^2 ∴β+β2=−627\therefore \quad \beta+\beta^2=\frac{-6}{27} বা, β+β2=−29\beta+\beta^2=\frac{-2}{9} বা, 9β2+9β+2=0\quad 9 \beta^2+9 \beta+2=0 বা, 9β2+6β+3β+2=09 \beta^2+6 \beta+3 \beta+2=0 বা, 3β(3β+2)+1(3β+2)=03 \beta(3 \beta+2)+1(3 \beta+2)=0 বা, (3α+2)(3β+1)=0(3 \alpha+2)(3 \beta+1)=0 হয়, 3β+2=03 \beta+2=0 ∴β=−23\therefore \quad \beta=\frac{-2}{3} অথবা, 3β+1=03 \beta+1=0 ∴β=−13\therefore \beta=\frac{-1}{3} এবং β⋅β2=−(α+2)27\beta \cdot \beta^2=\frac{-(\alpha+2)}{27} ∴β3=−(α+2)27\therefore \quad \beta^3=\frac{-(\alpha+2)}{27} …...(1)\ldots...(1) β=−23\beta=\frac{-2}{3} হলে (1)(1) নং সমীকরণ হতে , (−23)3=−(α+2)27\left(\frac{-2}{3}\right)^3=\frac{-(\alpha+2)}{27} বा, −827=−(α+2)27\frac{-8}{27}=\frac{-(\alpha+2)}{27} বা, α+2=8\alpha+2=8 ∴α=6\therefore \quad \alpha=6 আবার, β=−13\beta=\frac{-1}{3} হলে, (1)নং সমীকরণ হতে, (−13)3=−(α+2)27\left(\frac{-1}{3}\right)^3=\frac{-(\alpha+2)}{27} বा, −127=−(α+2)27\frac{-1}{27}=\frac{-(\alpha+2)}{27} বা, α+2=1\alpha+2=1 ∴α=−1\therefore \quad \alpha=-1 নির্ণেয় মান : α=6,−1\alpha=6,-1.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন