Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত রাশি = [গণিত] [চিত্র হতে] [গণিত] নির্ণেয় মুখ্যমান : [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(θ)=sin⁡θ;cf(\theta)=\sin \theta ; \mathrm{c} হলো বৃত্তটির কেন্দ্র

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি = =Arctan⁡{sin⁡(arccos⁡23)}=Arctan⁡{sin⁡(cos⁡−123)}=Arctan⁡{sin⁡sin⁡−113}\begin{aligned} & =\operatorname{Arctan}\left\{\sin \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\right\} \\ & =\operatorname{Arctan}\left\{\sin \left(\cos^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\right\} \\ & =\operatorname{Arctan}\left\{\sin \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\end{aligned} [চিত্র হতে] =Arctan⁡13=tan⁡−113=π6\begin{aligned} & =\operatorname{Arctan} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ & =\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}\end{aligned} নির্ণেয় মুখ্যমান : π6\frac{\pi}{6}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta এখন, f(π2−2x)f(2x)=f(x)+f(π2+x)\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathrm{x}\right)}{f(2 \mathrm{x})}=f(\mathrm{x})+f\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{x}\right) বা, sin⁡(π2−.2x)sin⁡2x=sin⁡x+sin⁡(π2+x)\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-.2 x\right)}{\sin 2 x}=\sin x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) বা, cos⁡2xsin⁡2x=sin⁡x+cos⁡x\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}=\sin x+\cos x বা, cos⁡2x=sin⁡2x(cos⁡x+sin⁡x)\cos 2 x=\sin 2 x(\cos x+\sin x) বা, (cos⁡2x−sin⁡2x)−2sin⁡xcos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=0\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)-2 \sin x \cos x(\cos x+\sin x)=0 বা, (cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x)=0(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x-2 \sin x \cos x)=0 হয়, cos⁡x+sin⁡x=0\cos x+\sin x=0 বা, 1+tan⁡x=0[cos⁡x1+\tan x=0[\cos x দ্বারা ভাগ করে] বা, tan⁡x=−1\tan x=-1 \quad বা, tan⁡x=tan⁡(−π4)\tan x=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) ∴x=nπ−π4;\therefore x=n \pi-\frac{\pi}{4} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡x−sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x=0\cos x-\sin x-2 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x−sin⁡x=2sin⁡xcos⁡x\cos x-\sin x=2 \sin x \cos x বা, cos⁡x−sin⁡x=sin⁡2x\cos x-\sin x=\sin 2 x বা, (cos⁡x−sin⁡x)2=sin⁡22x(\cos x-\sin x)^2=\sin^2 2 x [বর্গ করে] বা, cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=sin⁡22x\cos^2 x+\sin^2 x-2 \sin x \cos x=\sin^2 2 x বা, 1−sin⁡2x=sin⁡22x1-\sin 2 x=\sin^2 2 x বा, sin⁡22x+sin⁡2x−1=0\sin^2 2 x+\sin 2 x-1=0 বা, sin⁡2x=−1±12−4⋅1⋅(−1)2=12(−1±5)\sin 2 x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2}=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{5}) অর্থাৎ, sin⁡2x=12(−1+5)\sin 2 x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5}); কারণ সাইন অনুপাতের মান -1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হতে পারে না। ধরি, sin⁡α=12(−1+5)\sin \alpha=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5}) বা, α=sin⁡−1{12(−1+5)}\alpha=\sin^{-1}\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right\} তাহলে , sin⁡2x=sin⁡α\sin 2 x=\sin \alpha ∴2x=nπ+(−1)nα\therefore \quad 2 \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^n \alpha; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, x=12nπ+(−1)n⋅12αx=\frac{1}{2} n \pi+(-1)^n \cdot \frac{1}{2} \alpha. নির্ণেয় সমাধান: x=nπ−π4,12nπ+(−1)n,12αx=n \pi-\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2} n \pi+(-1)^n, \frac{1}{2} \alpha যেখানে α=sin⁡−1{12(−1+5)}\alpha=\sin^{-1}\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right\}

উত্তর

CC কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, β=2α\beta=2 \alpha lবৃख্खের একই চাপের উপর দড্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্মিগুণ] বা. α=β2\alpha=\frac{\beta}{2} দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta বামপক্ষ =f(2tan⁡−1(abtan⁡α))=f\left(2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} \tan \alpha\right)\right) =sin⁡(2tan⁡−1(abtan⁡β2))[∵α=β2]=sin⁡(sin⁡−12⋅abtan⁡β21+(abtan⁡β2)2)[∵2tan⁡−1x=2x1+x2]=2ab⋅sin⁡β2cos⁡β21+abtan⁡2β2=2asin⁡β21+ab⋅sin⁡β2sos⁡2β2=2asin⁡β2bcos⁡2β2+asin⁡2β2bcos⁡β2bcos⁡2β2\begin{aligned} & =\sin \left(2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \tan \frac{\beta}{2}\right)\right)\left[\because \alpha=\frac{\beta}{2}\right] \\ & =\sin \left(\sin^{-1} \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \tan \frac{\beta}{2}}{1+\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \tan \frac{\beta}{2}\right)^2}\right)\left[\because 2 \tan^{-1} x=\frac{2 x}{1+x^2}\right] \\ & =\frac{\frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}}{1+\frac{a}{b} \tan^2 \frac{\beta}{2}}=\frac{2 \sqrt{a} \sin \frac{\beta}{2}}{1+\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\operatorname{sos}^2 \frac{\beta}{2}}}=\frac{\frac{2 \sqrt{a} \sin \frac{\beta}{2}}{b \cos^2 \frac{\beta}{2}+a \sin^2 \frac{\beta}{2}}}{\frac{\sqrt{b} \cos \frac{\beta}{2}}{b \cos^2 \frac{\beta}{2}}}\end{aligned} =2asin⁡β2bcos⁡β2×bcos⁡2β2bcos⁡2β2+asin⁡2β2=2absin⁡β2cos⁡β2bcos⁡2β2+asin⁡2β2=2(ab2sin⁡β2⋅cos⁡β2)2(bcos⁡2β2+asin⁡2β2)=2absin⁡(2⋅β2)(b×2cos⁡2β2)+(a×2sin⁡2β2)[∵2sin⁡Acos⁡A=sin⁡2A]=2absin⁡βb(1+cos⁡2⋅β2)+a(1−cos⁡2⋅β2)\begin{aligned} & =\frac{2 \sqrt{a} \sin \frac{\beta}{2}}{\sqrt{b} \cos \frac{\beta}{2}} \times \frac{b \cos^2 \frac{\beta}{2}}{b \cos^2 \frac{\beta}{2}+a \sin^2 \frac{\beta}{2}} \\ & =\frac{2 \sqrt{a} \sqrt{b} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}}{b \cos^2 \frac{\beta}{2}+a \sin^2 \frac{\beta}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a} \sqrt{b} 2 \sin \frac{\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2}\right)}{2\left(b \cos^2 \frac{\beta}{2}+a \sin^2 \frac{\beta}{2}\right)} \\ & =\frac{2 \sqrt{a} \sqrt{b} \sin \left(2 \cdot \frac{\beta}{2}\right)}{\left(b \times 2 \cos^2 \frac{\beta}{2}\right)+\left(a \times 2 \sin^2 \frac{\beta}{2}\right)}[\because 2 \sin A \cos A=\sin 2 A] \\ & =\frac{2 \sqrt{a b} \sin \beta}{b\left(1+\cos 2 \cdot \frac{\beta}{2}\right)+a\left(1-\cos 2 \cdot \frac{\beta}{2}\right)}\end{aligned} [∵2cos⁡2A=1+cos⁡2A\left[\because 2 \cos^2 A=1+\cos 2 A\right. এবং 2sin⁡2A=1−cos⁡2A]\left.2 \sin^2 A=1-\cos 2 A\right] =2absin⁡βb+bcos⁡β+a−acos⁡β=2absin⁡β(b+a)+(b−a)cos⁡β\begin{aligned} & =\frac{2 \sqrt{a b} \sin \beta}{b+b \cos \beta+a-a \cos \beta} \\ & =\frac{2 \sqrt{a b} \sin \beta}{(b+a)+(b-a) \cos \beta}\end{aligned} ডানপক্ষ =2abf(β)(b+a)+(b−a)f(π2−β)=\frac{2 \sqrt{a b} f(\beta)}{(b+a)+(b-a) f\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)} =2absin⁡β(b+a)+(b−a)sin⁡(π2−β)=2absin⁡β(b+a)+(b−a)cos⁡β\begin{aligned} & =\frac{2 \sqrt{a b} \sin \beta}{(b+a)+(b-a) \sin \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)} \\ & =\frac{2 \sqrt{a b} \sin \beta}{(b+a)+(b-a) \cos \beta}\end{aligned} অর্থাৎ, f(2tan⁡−1(abtan⁡α))=2abf(β)(b+a)+(b−a)f(π2−β)f\left(2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a}{b} \tan \alpha}\right)\right)=\frac{2 \sqrt{a b} f(\beta)}{(b+a)+(b-a) f\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন