Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, k এর সকল বাস্তব মানের জন্য [গণিত] সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নিশ্চায়ক [গণিত] - [গণিত] অর্থাৎ মানের জন্য সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, k এর সকল বাস্তব মানের জন্য সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব।

উদ্দীপক

f(x)=x4−5x3+10x2−10x+4)=0\left.f(x)=x^4-5 x^3+10 x^2-10 x+4\right)=0 সমীকরণের একটি মূল 1−i1-i h(x)=13x3+5x2+32x+1h(x)=\frac{1}{3} x^3+5 x^2+\frac{3}{2} x+1.

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 1x+1x−1+1x−k=0\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-k}=0 বা, \frac{(x-1)(x-k)+x(x-k)+x(x-1)}{x(x-1}(x-k) x c} বা, (x−1)(x−k)+x(x−k)+x(x−1)=0(x-1)(x-k)+x(x-k)+x(x-1)=0 বা, x2−kx−x+k+x2−kx+x2−x=0x^2-k x-x+k+x^2-k x+x^2-x=0 বা, 3x2−2kx−2x+k=03 x^2-2 k x-2 x+k=0 ∴3x2−2(k+1)x+k=0\therefore \quad 3 x^2-2(k+1) x+k=0 ∴\therefore নিশ্চায়ক ={−2(k+1)}2=\{-2(k+1)\}^2- 4 3\k4 \ 3 \k =4(k+1)2−12k=4(k2+2k+1)−12k\begin{aligned} & =4(k+1)^2-12 k \\ & =4\left(k^2+2 k+1\right)-12 k\end{aligned} =4k2+8k+4−12k=4k2−4k+4=4 k^2+8 k+4-12 k=4 k^2-4 k+4 =(2k)2−2⋅2k⋅1+12+3=(2k−1)2+3>0=(2 k)^2-2 \cdot 2 k \cdot 1+1^2+3 = (2 k-1)^2+3>0 অর্থাৎ মানের জন্য সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে f(x)=x4−5x3+10x2−10x+4=0f(x)=x^4-5 x^3+10 x^2-10 x+4=0 সমীকরণের একটি মূল 1−11-1 এখন, f(x)=0f(\mathrm{x})=0 বা. x4−5x3+10x2−10x+4=0x^4-5 x^3+10 x^2-10 x+4=0 সমীকরণটির একটি মূল1-i হলে অন্য একটি মূল 1 + i এখন (x−1−i)(x−1+i)(\mathrm{x}-1-i)(\mathrm{x}-1+i) =(x−1)2−i2=x2−2x+1+1=x2−2x+2=(x-1)^2-i^2=x^2-2 x+1+1=x^2-2 x+2 এখন x4−5x3+10x2−10x+4=0x^4-5 x^3+10 x^2-10 x+4=0 বা, x2(x2−2x+2)−3x(x2−2x+2)+2(x2−2x+2)=0x^2\left(x^2-2 x+2\right)-3 x\left(x^2-2 x+2\right)+2\left(x^2-2 x+2\right)=0 বা, (x2−2x+2)(x2−3x+2)=0\left(x^2-2 x+2\right)\left(x^2-3 x+2\right)=0 এখন, x2−3x+2=0x^2-3 x+2=0 বা, x2−2x−x+2=0x^2-2 x-x+2=0 বা, x(x−2)−1(x−2)=0x(x-2)-1(x-2)=0 বা, (x−2)(x−1)=0(x-2)(x-1)=0 ∴x=2\therefore x=2 বা 11 ∴\therefore সমীকরণটির বাস্তব মূলদ্বয় 1,21, 2. বাস্তব মূলদ্বয়ের সমষ্টি =1+2=3=1+2=3 এবং বাস্তব মূলদ্বয়ের অন্তরফলের পরমমান =∣1−2∣=∣−1∣=1=|1-2|=|-1|=1 এথন, 33 ও 11 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(3+1)x+3.1=0\mathrm{x}^2-(3+1) \mathrm{x}+3.1=0 ∴x2−4x+3=0\therefore \quad x^2-4 x+3=0 নির্ণেয় সমীকরণ x2−4x+3=0x^2-4 x+3=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=13x3+5x2+32x+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3+5 \mathrm{x}^2+\frac{3}{2} \mathrm{x}+1 h(x)=0h(x)=0 হলে, 13x3+5x2+32x+1=0\frac{1}{3} x^3+5 x^2+\frac{3}{2} x+1=0 বा, x3+15x2+92x+3=0x^3+15 x^2+\frac{9}{2} x+3=0……...(1)\ldots\ldots...(1) (1)(1) নং সমীকরণের মূলত্রয় p,q,rp, q, r ∴p+q+r=−15pq+qr+rp=92\begin{aligned} & \therefore \quad p+q+r=-15 \\ & p q+q r+r p=\frac{9}{2}\end{aligned} এবং pqr = - 3 এখন. Σq2+r2qr=Σ(q2qr+r2qr)\Sigma \frac{q^2+r^2}{q r}=\Sigma\left(\frac{q^2}{q r}+\frac{r^2}{q r}\right) =Σ(qr+rq)=qr+rq+rp+pr+pq+qp=\Sigma\left(\frac{q}{r}+\frac{r}{q}\right)=\frac{q}{r}+\frac{r}{q}+\frac{r}{p}+\frac{p}{r}+\frac{p}{q}+\frac{q}{p} =pq2+pr2+qr2+p2q+p2r+q2rpqr=\frac{p q^2+p r^2+q r^2+p^2 q+p^2 r+q^2 r}{p q r} =p2r+p2q+q2r+pq2+pr2+qr2pqr=\frac{p^2 r+p^2 q+q^2 r+p q^2+p r^2+q r^2}{p q r} =p(pr+pq)+q(qr+pq2+r(pr+qr)qpr=\frac{p(p r+p q)+q(q r+p q 2+r(p r+q r)}{q p r} =p(92−qr)+q(92−pq)+r(92−pq)pqr[∵pq+qr+pp=92]=\frac{p\left(\frac{9}{2}-q r\right)+q\left(\frac{9}{2}-p q\right)+r\left(\frac{9}{2}-p q\right)}{p q r}\left[\because p q+q r+p p=\frac{9}{2}\right] =9p2−pqr+9q2−pqr+9r2−pqrpqr=92(p+q+r)−3pqrpqr=92(−15)−3(−3)−3=−1352+9−3=−1172−3=1172×13=392\begin{aligned} & =\frac{\frac{9 p}{2}-p q r+\frac{9 q}{2}-p q r+\frac{9 r}{2}-p q r}{p q r}=\frac{\frac{9}{2}(p+q+r)-3 p q r}{p q r} \\ & =\frac{\frac{9}{2}(-15)-3(-3)}{-3}=\frac{-\frac{135}{2}+9}{-3}=\frac{-\frac{117}{2}}{-3}=\frac{117}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{39}{2}\end{aligned} নির্ণেয় মান: 392\frac{39}{2}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন