Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] না হলে [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হতে পারে না।

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক [গণিত] কিন্তু নিশ্চায়কের মান না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ [গণিত] বা, a-b = 0 [গণিত] হলে সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। অতএব, a=b না হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, না হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হতে পারে না।

উদ্দীপক

f(x)=x2−mx+n,g(x)=2x3−5x2−13x+30f(x)=x^2-m x+n, g(x)=2 x^3-5 x^2-13 x+30

ঢাকা কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 2x2−2(a+b)x+(a2+b2)=02 x^2-2(a+b) x+\left(a^2+b^2\right)=0 সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক ={−2(a+b)}2−4⋅2⋅(a2+b2)=4(a2+2ab+b2−2a2−2b2)=4(−a2−b2+2ab)=−4(a2−2ab+b2)=−4(a−b)2≤0\begin{aligned} & =\{-2(a+b)\}^2-4 \cdot 2 \cdot\left(a^2+b^2\right) \\ & =4\left(a^2+2 a b+b^2-2 a^2-2 b^2\right) \\ & =4\left(-a^2-b^2+2 a b\right) \\ & =-4\left(a^2-2 a b+b^2\right)=-4(a-b)^2 \leq 0\end{aligned} কিন্তু নিশ্চায়কের মান না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ (a−b)2=0(a-b)^2=0 বা, a-b = 0 ∴a=b\therefore \quad a=b ∴a=b\therefore \quad a=b হলে সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। অতএব, a=b না হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2−mx+nf(x)=x^2-m x+n f(x)=0f(x)=0 হলে x2−mx+n=0\mathrm{x}^2-\mathrm{mx}+\mathrm{n}=0 সমীকরণ (1)(1) এর মূলম্বহ α,β\alpha, \beta হলে, α+β=−−m1=m\alpha+\beta=-\frac{-m}{1}=m এবং αβ=n1=n\alpha \beta=\frac{n}{1}=n এখন, nm−α\frac{n}{m-\alpha} এবং nm−β\frac{n}{m-\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(nm−α+nm−β)x+nm−α⋅nmβ=0x^2-\left(\frac{n}{m-\alpha}+\frac{n}{m-\beta}\right) x+\frac{n}{m-\alpha} \cdot \frac{n}{m\beta}=0 বা, x^2-n\left(\frac{1}{m-\alpha}+\frac{1}{m-\beta}\right) x+\frac{n^2}{(m-\alpha}(m-\beta)}=0 বা, x^2-n \cdot \frac{m-\alpha+m-\beta}{(m-\alpha}(m-\beta)} \times \frac{n^2}{m^2-(\alpha+\beta} m+\alpha \beta}=0 বা, x^2-n \cdot \frac{2 m-(\alpha+\beta)}{m^2-(\alpha+\beta} m+\alpha \beta} x+\frac{n^2}{m^2-m \cdot m+n}=0 বা, x2−n⋅2m−mm2−m2+nx+n2m2−m2+n=0x^2-n \cdot \frac{2 m-m}{m^2-m^2+n} x+\frac{n^2}{m^2-m^2+n}=0 বা, x2−mnnx+n2n=0x^2-\frac{m n}{n} x+\frac{n^2}{n}=0 ∴x2−mx+n=0\therefore \quad \mathrm{x}^2-\mathrm{mx}+\mathrm{n}=0 ∴\therefore প্রদত্ত সমীকরন এবং নির্ণীত সমীকরণ অভিন্ন অর্থাৎ একই। কারণ, সমীকরণ দুইটির সহগগুলো একে অপরের সমান।

উত্তর

গ দেওয়া আছে, g(x)=2x3−5x2=1113x+30\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2=\frac{1}{1} 13 \mathrm{x}+30 g(x)=0g(x)=0 হলে 2x3−5x2−13x+30=02 x^3-5 x^2-13 x+30=0 ………..(i)\ldots\ldots\ldots..(i) ধরি, (i)(i)নং সমীকরণের মূল তিনটি α,2β,3β\alpha, 2 \beta, 3 \beta । মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই, α+2β+3β=−−52\alpha+2 \beta+3 \beta=-\frac{-5}{2} বा, α+5β=52\alpha+5 \beta=\frac{5}{2} ∴α=52−5β\therefore \quad \alpha=\frac{5}{2}-5 \beta ………..(ii)\ldots\ldots\ldots..(ii) এবং α⋅2β+2β⋅3β+3β.α=−132\alpha \cdot 2 \beta+2 \beta \cdot 3 \beta+3 \beta . \alpha=-\frac{13}{2} বা, 2αβ+6β2+3αβ=−1322 \alpha \beta+6 \beta^2+3 \alpha \beta=-\frac{13}{2} বা, 5αβ+6β2=−1325 \alpha \beta+6 \beta^2=-\frac{13}{2} বা, 5β(52−5β)+6β2=−1325 \beta\left(\frac{5}{2}-5 \beta\right)+6 \beta^2=-\frac{13}{2} [ α\alpha এর মান বসিয়ে] বা, 25β2−25β+6β2=−132\frac{25 \beta}{2}-25 \beta+6 \beta^2=-\frac{13}{2} বা, 25β−2×19β2=−1325 \beta-2 \times 19 \beta^2=-13 বা, 38β2−25β−13=038 \beta^2-25 \beta-13=0; যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ∴β=−(−25)±(−25)2−4⋅38⋅(−13)2⋅38=25±625+197676=25±5176\begin{aligned} \therefore \quad \beta & =\frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2-4 \cdot 38 \cdot(-13)}}{2 \cdot 38} \\ & =\frac{25 \pm \sqrt{625+1976}}{76}=\frac{25 \pm 51}{76}\end{aligned} (+) মান নিয়ে পাই, 25+5176=7676=1\frac{25+51}{76}=\frac{76}{76}=1 (-) মান নিয়ে পাই, 25−5176=−2676=−1338\frac{25-51}{76}=\frac{-26}{76}=-\frac{13}{38} ∴β=1,−1338\therefore \beta=1, \frac{-13}{38} (ii)নং সমীকরণে β=1\beta=1 বসিয়ে পাই, α=52−5.1=52−5=5−102=−52\alpha=\frac{5}{2}-5.1=\frac{5}{2}-5=\frac{5-10}{2}=\frac{-5}{2} এইক্ষেত্রে, মূলত্রয় (−52,2,3)\left(\frac{-5}{2}, 2,3\right) আবার, β=−1338\beta=-\frac{13}{38} হলে, (ii)(ii)নং হতে পাই, α=52−5⋅(−1338)=52+6538=95+6538=16038=8019∴2β=−2638,3β=3⋅(−1338)=−3938\begin{aligned} \alpha & =\frac{5}{2}-5 \cdot\left(\frac{-13}{38}\right)=\frac{5}{2}+\frac{65}{38}=\frac{95+65}{38}=\frac{160}{38}=\frac{80}{19} \\ \therefore 2 \beta & =-\frac{26}{38}, 3 \beta=3 \cdot\left(\frac{-13}{38}\right)=\frac{-39}{38}\end{aligned} এইক্ষেত্রে মূলত্রয় (8019,−2638,3938)\left(\frac{80}{19}, \frac{-26}{38}, \frac{39}{38}\right) (i)(i) নং সমীকরণের মূলত্রয়ের গুণফল, α⋅2β⋅3β=−302=−15\alpha \cdot 2 \beta \cdot 3 \beta=-\frac{30}{2}=-15 ১ম মূলগুলোর গুণফল =−52×2×3=−15=-\frac{5}{2} \times 2 \times 3=-15; যা (i)নং সমীকরণের মূলত্রয়ের গুণফলের সমান। এবং অপর মূলগুলোর গুণফল =8019×(−2638)×(−3938)≠−15=\frac{80}{19} \times\left(\frac{-26}{38}\right) \times\left(\frac{-39}{38}\right) \neq-15 নির্ণেয় সমাধান x=(−52,2x=\left(\frac{-5}{2}, 2\right. এবং 3)).
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti