Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে [গণিত] এর মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে [গণিত] এবং [গণিত] হলে [গণিত] ধরি, [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল [গণিত] এবং [গণিত] ও [গণিত] হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় মূলদ্বয় [গণিত] অথবা [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

ও সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে এর মূলদ্বয় নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

F(x)=x2+ax+b,G(x)=x2+bx+ah(x)=3x3−2x2+2x+1\begin{aligned} & F(x)=x^2+a x+b, G(x)=x^2+b x+a \\ & h(x)=3 x^3-2 x^2+2 x+1\end{aligned}

ঢাকা কলেজ · 2025

উত্তর

−i-i এর ঘনমূল =−13=\sqrt[3]{-1} ধরি, −i3=x\sqrt[3]{-i}=x বা, x3=−1x^3=-1 [ঘন করে] বা, x3=i2×i[∵i2=−1]x^3=i^2 \times i \quad\left[\because i^2=-1\right] বा, x3=i3x^3=i^3 বा, x3−i3=0x^3-i^3=0 বा, (x−i)(x2+x⋅i+i2)=0(x-i)\left(x^2+x \cdot i+i^2\right)=0 বा, (x−i)(x2+ix−1)=0[∵i2=−1](x-i)\left(x^2+i x-1\right)=0\left[\because i^2=-1\right] হয় x−i=0\quad \mathrm{x}-\mathrm{i}=0 ∴x=1\therefore \quad x=1 অথবা , x2+ix−1=0x^2+i x-1=0 ∴x=−i±i2−4⋅1(−1)2⋅1=−i±−1+42=−i±32=−i+32,−i−32\begin{aligned} \therefore x & =\frac{-i \pm \sqrt{i^2-4 \cdot 1(-1)}}{2 \cdot 1}=\frac{-i \pm \sqrt{-1+4}}{2} \\ & =\frac{-i \pm \sqrt{3}}{2}=\frac{-i+\sqrt{3}}{2}, \frac{-i-\sqrt{3}}{2}\end{aligned} নির্ণেয় −i- i এর ঘনমূল i,−i+32,−i−32\mathrm{i}, \frac{-\mathrm{i}+\sqrt{3}}{2}, \frac{-\mathrm{i}-\sqrt{3}}{2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, F(x)=x2+ax+b\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+\mathrm{b} F(x)=0F(x)=0 হলে x2+ax+b=0x^2+a x+b=0 এবং G(x)=x2+bx+aG(x)=x^2+b x+a G(x)=0G(x)=0 হলে x2+bx+a=0x^2+b x+a=0 ধরি, x2+ax+b=0x^2+a x+b=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta ∴α+β˙=−a\therefore \alpha+\dot{\beta}=-a এবং αβ=b\alpha \beta=b এবং x2+bx+a=0x^2+b x+a=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,γ\alpha, \gamma ∴α+γ=−b\therefore \quad \alpha+\gamma=-b এবং αγ=a\alpha \gamma=\mathrm{a} প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল α\alpha ∴α2+aα+b=0\therefore \quad \alpha^2+a \alpha+b={0} ……...(i)\ldots\ldots...(i) এবং α2+bα+a=0\alpha^2+b \alpha+a=0 ……...(ii)\ldots\ldots...(ii) (i)(i) ও (ii)(ii) হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে পাই, α2a2−b2=αb−a=1b−a\frac{\alpha^2}{a^2-b^2}=\frac{\alpha}{b-a}=\frac{1}{b-a} বা, \frac{\alpha^2}{(a+b}(a-b)}=\frac{\alpha}{-(a-b)}=\frac{1}{-(a-b)} বা, a2a+b=α−1=1−1\frac{a^2}{a+b}=\frac{\alpha}{-1}=\frac{1}{-1} অর্থাৎ, α=−(a+b)\alpha=-(a+b) এবং α=1\alpha=1 ∴1=−(a+b)\therefore \quad 1=-(a+b) বা, a+b=−1a+b=-1 এখন, 3x2+(a+b−3)x=(a+b−3)23 \mathrm{x}^2+(\mathrm{a}+\mathrm{b}-3) \mathrm{x}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-3)^2 বা, 3x2+(−1−3)x=(−1−3)2[∵a+b=−1]3 x^2+(-1-3) x=(-1-3)^2[\because a+b=-1] বা, 3x˙2−4x−16=03 \dot{x}^2-4 x-16=0 বা, x=−(−4)±(−4)2−4⋅3⋅(−16)2⋅3x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot(-16)}}{2 \cdot 3} =4±16+1926=4±4136=4(1±13)6=23(1±13)=\frac{4 \pm \sqrt{16+192}}{6}=\frac{4 \pm 4 \sqrt{13}}{6}=\frac{4(1 \pm \sqrt{13})}{6}=\frac{2}{3}(1 \pm \sqrt{13}) নির্ণেয় মূলদ্বয় =23(1+13)=\frac{2}{3}(1+\sqrt{13}) অথবা 23(1−13)\frac{2}{3}(1-\sqrt{13}).

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=3x3−2x2+2x+1h(x)=3 x^3-2 x^2+2 x+1 ∴h(x)=0\therefore \quad h(x)=0 হলে, 3x3−2x2+2x+1=03 x^3-2 x^2+2 x+1=0 …….(i)\ldots\ldots.(i) (i)(i) নং সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, α+β+γ=−−23=23;αβ+βγ+γα=23\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3} ; \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{2}{3} এবং αβγ=−13\alpha \beta \gamma=-\frac{1}{3} প্রদত্ত রाশि: ∑α2β=α2β+α2γ+β2α+β2γ+γ2α+γ2β\sum \alpha^2 \beta=\alpha^2 \beta+\alpha^2 \gamma+\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta =α2β+β2α+αβγ+αβγ+β2γ+γ2β+α2γ+αβγ+γ2α−3αβγ=αβ(α+β+γ)+βγ(α+β+γ)+γα(α+β+γ)−3αβγ=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ=23×23−3×(−13)=49+1=139\begin{aligned} & =\alpha^2 \beta+\beta^2 \alpha+\alpha \beta \gamma+\alpha \beta \gamma+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \beta+\alpha^2 \gamma+\alpha \beta \gamma+\gamma^2 \alpha-3 \alpha \beta \gamma \\ & =\alpha \beta(\alpha+\beta+\gamma)+\beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma)+\gamma \alpha(\alpha+\beta+\gamma)-3 \alpha \beta \gamma \\ & =(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)-3 \alpha \beta \gamma \\ & =\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}-3 \times\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{9}+1=\frac{13}{9}\end{aligned} নির্ণেয় মান =139=\frac{13}{9}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন