Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে [গণিত] না হলে [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে না ?

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক [গণিত] কিন্তু নিশ্চায়কের মান ঋণাত্মক হলে, মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] , [গণিত] হলে সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। অতএব, p=q না হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে না হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হবে না ?

উদ্দীপক

f(x)=x2−4x+5,g(x)=x+1,f(x)=x^2-4 x+5, g(x)=x+1, φ(x)=lx2+mx+n,ψ(x)=nx2+mx+l\varphi(x)=l x^2+m x+n, \psi(x)=nx^2+m x+l

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 2x2−2(p+q)x+(p2+q2)=02 x^2-2(p+q) x+\left(p^2+q^2\right)=0 সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক ={−2(p+q)}2−4⋅2⋅(p2+q2)=\{-2(p+q)\}^2-4 \cdot 2 \cdot\left(p^2+q^2\right) =4(p2+2pq+q2−2p2−2q2)=4(−p2−q2+2pq)=−4(p2−2pq+q2)=−4(p−q)2≤0\begin{aligned} & =4\left(p^2+2 p q+q^2-2 p^2-2 q^2\right) \\ & =4\left(-p^2-q^2+2 p q\right) \\ & =-4\left(p^2-2 p q+q^2\right)=-4(p-q)^2 \leq 0\end{aligned} কিন্তু নিশ্চায়কের মান ঋণাত্মক হলে, মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ, (p−q)2=0(p-q)^2=0 বা, p−q=0\mathrm{p}-\mathrm{q}=0, ∴p=q\therefore \quad p=q ∴p=q\therefore \quad p=q হলে সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। অতএব, p=q না হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(x)=lx2+mx+n\varphi(x)=l x^2+m x+n এবং, ψ(x)=nx2+mx+1\psi(x)=n x^2+m x+1 এখানে, φ(x)=0\varphi(\mathrm{x})=0 বা, lx2+mn+n=0l \mathrm{x}^2+\mathrm{mn}+\mathrm{n}=0 এবং Ψ(x)=0\Psi(x)=0 বা, nx2+mn+l=0\mathrm{nx}^2+\mathrm{mn}+l=0 সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল α\alpha হলে, α\alpha দ্বারা উভ়য় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। ∴lα2+mα+n=0\therefore \quad l \alpha^2+m \alpha+n=0……..(i)\ldots\ldots..(i) এবং nα2+mα+l=0n \alpha^2+m \alpha+l=0 ……..(ii)\ldots\ldots..(ii) (i)(i) ও (ii)(ii) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসারে, α2 ml−mn=αn2−l2=1l mmn\frac{\alpha^2}{\mathrm{~m} l-m n}=\frac{\alpha}{\mathrm{n}^2-l^2}=\frac{1}{l \mathrm{~m}\mathrm{mn}} বা, α2 m(l−n)=α−(l+n)(l−n)=1 m(l−n)\frac{\alpha^2}{\mathrm{~m}(l-\mathrm{n})}=\frac{\alpha}{-(l+\mathrm{n})(l-\mathrm{n})}=\frac{1}{\mathrm{~m}(l-\mathrm{n})} বা, α2m=α−(l+n)=1m\frac{\alpha^2}{m}=\frac{\alpha}{-(l+n)}=\frac{1}{m} ∴α2 m=α−(l+n)\therefore \quad \frac{\alpha^2}{\mathrm{~m}}=\frac{\alpha}{-(l+\mathrm{n})} এবং α−(l+n)=lm\frac{\alpha}{-(l+\mathrm{n})}=\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{m}} বা, α=−ml+n\alpha=\frac{-\mathrm{m}}{l+\mathrm{n}} বা, α=−(l+n)m\alpha=\frac{-(l+\mathrm{n})}{\mathrm{m}} ∴−ml+n=−(l+n)m\therefore \quad \frac{-\mathrm{m}}{l+\mathrm{n}}=\frac{-(l+\mathrm{n})}{\mathrm{m}} বা, m2=(l+n)2\quad \mathrm{m}^2=(l+\mathrm{n})^2 ∴m=±(l+n)\therefore \quad \mathrm{m}= \pm(l+\mathrm{n}).

উত্তর

দেওয়া আছে,f(x)=x2−5x+5f(x)=x^2-5 x+5; g(x)=x+1g(x)=x+1 এখন, f(x)⋅g(x)=0f(x) \cdot g(x)=0 বा, (x2−4x+5)(x+1)=0\left(x^2-4 x+5\right)(x+1)=0 বা, x3−3x2+x+5=0x^3-3 x^2+x+5=0…….(i)\ldots\ldots.(i) ধরি, (i)(i) নং এর মূলত্রয় p,q,rp, q , r ∴p+q+r=3pq+qr+rp=1pqr=−5\begin{aligned}\therefore \quad & p+q+r=3 \\& p q+q r+r p=1 \\& p q r=-5\end{aligned} ∑p3q=p3q+p3r+q3r+q3p+r3p+r3q=pq(p2+q2+r2)+qr(p2+q2+r2)\begin{aligned}\sum p^3 q & =p^3 q+p^3 r+q^3 r+q^3 p+r^3 p+r^3 q \\& =p q\left(p^2+q^2+r^2\right)+q r\left(p^2+q^2+r^2\right)\end{aligned} +rp(p2+q2+r2)−pqr2−p2qr−pq2r+r p\left(p^2+q^2+r^2\right)-p q r^2-p^2 q r-p q^2 r =(p2+q2+r2)(pq+qr+rp)−pqr(p+q+r)={(p+q+r)2−2(pq+qr+rp)}⋅1−(−5)⋅3=(32−2⋅1)+15=(9−2)+15=22\begin{aligned} & =\left(p^2+q^2+r^2\right)(p q+q r+r p)-p q r(p+q+r) \\ & =\left\{(p+q+r)^2-2(p q+q r+r p)\right\} \cdot 1-(-5) \cdot 3 \\ & =\left(3^2-2 \cdot 1\right)+15=(9-2)+15=22\end{aligned} নির্ণেয় ∑p3q=22\sum p^3 q=22.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণকুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন