Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ হবে।

উত্তর: আমরা জানি, কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে। [গণিত] সমীকরণের নিশ্চায়ক [গণিত] এখানে, নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা।. সুতরাং সমীকরণটির মূলদ্বয় মূলদ।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ হবে।

উদ্দীপক

P(x)=ax2+bx+c,Q(x)=cx2+bx+aP(x)=a x^2+b x+c, Q(x)=c x^2+b x+a এবং zˉ=x+iy\bar{z}=x+i y

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

আমরা জানি, কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে। 2x2+6x−8=02 x^2+6 x-8=0 সমীকরণের নিশ্চায়ক =b2−4ac=b^2-4 a c =62−4⋅2⋅(−8)=36+64=100=102\begin{aligned} & =6^2-4 \cdot 2 \cdot(-8) \\ & =36+64=100=10^2\end{aligned} এখানে, নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা।. সুতরাং সমীকরণটির মূলদ্বয় মূলদ।

উত্তর

দেওয়া আছে, zˉ=x+iy∴z=x−iy\bar{z}=x+i y \therefore z=x-i y এখানে, ∣z+3∣+∣zˉ−3∣=10|z+3|+|\bar{z}-3|=10 বা, ∣x−iy+3∣+∣x+iy−3∣=10|x-i y+3|+|x+i y-3|=10 বা, ∣(x+3)−iy∣+∣(x−3)+iy∣=10|(x+3)-i y|+|(x-3)+i y|=10 বা, (x+3)2+(−y)2+(x−3)2+y2=10\sqrt{(x+3)^2+(-y)^2}+\sqrt{(x-3)^2+y^2}=10 বা, (x+3)2+y2+(x−3)2+y2=10\sqrt{(x+3)^2+y^2}+\sqrt{(x-3)^2+y^2}=10 বা, (x+3)2+y2=10−(x−3)2+y2\sqrt{(x+3)^2+y^2}=10-\sqrt{(x-3)^2+y^2} বा, ((x+3)2+y2)2=(10−(x−3)2+y2)2\left(\sqrt{(x+3)^2+y^2}\right)^2=\left(10-\sqrt{(x-3)^2+y^2}\right)^2 [বর্গ করে] বা (x+3)2+y2=100−20(x−3)2+y2+(x−3)2+y2(x+3)^2+y^2=100-20 \sqrt{(x-3)^2+y^2}+(x-3)^2+y^2 বা, (x+3)2−(x−3)2=100−20(x−3)2+y2(x+3)^2-(x-3)^2=100-20 \sqrt{(x-3)^2+y^2} বা, 4⋅3x=100−20(x−3)2+y24 \cdot 3 x=100-20 \sqrt{(x-3)^2+y^2} বা, 3x=25−5(x−3)2+y23 x=25-5 \sqrt{(x-3)^2+y^2} বा, 5(x−3)2+y2=25−3x5 \sqrt{(x-3)^2+y^2}=25-3 x বা, (5(x−3)2+y2)2=(25−3x)2\left(5 \sqrt{(x-3)^2+y^2}\right)^2=(25-3 x)^2 [পুনরায় বর্গ করে] বা, 25(x2−6x+9+y2)=625−150x+9x225\left(x^2-6 x+9+y^2\right)=625-150 x+9 x^2 বা, 25x2−150x+25y2+225=9x2−150x+62525 x^2-150 x+25 y^2+225=9 x^2-150 x+625 বা, 16x2+25y2=40016 x^2+25 y^2=400 বা, x225+y216=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 বা, x252+y242=1\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1; যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে এবং এটিকে x2a2+y2b2=1;a>b\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ; a>b এর সাথে তুলনা করে পাই, a=5,b=4;a>ba=5, b=4 ; a>b ∴\therefore উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡(±a,0)≡(±5,0)\equiv( \pm a, 0) \equiv( \pm 5,0).

উত্তর

দেওয়া আছে, q(x)=l2+mx+n\mathrm{q}(\mathrm{x})=\mathrm{l}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{n} এবং q(x)=0\mathrm{q}(\mathrm{x})=0 ∴lx2+mx+n=0\therefore \quad l x^2+m x+n=0. ………...(i)\ldots\ldots\ldots...(i) আবার, r(x)=nxx2+mx+l\mathrm{r}(\mathrm{x})=\mathrm{nx} \mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+l এবং r(x)=0\mathrm{r}(\mathrm{x})=0 ∴nx2+mx+l=0\therefore \quad \mathrm{nx}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{l}=0. ………...(ii)\ldots\ldots\ldots...(ii) এখানে, (ii)(ii)নং সমীকরণের একটি মূল (i)(i) নং সমীকরণের একটি মৃলের দিগুণ। মনে করি, (i)(i) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha ∴\therefore (ii)(ii) নং সমীকরণের একটি মৃল 2α2 \alpha. (i)(i) নং সমীকরণ হতে পাই, lα2+mα+n=0l \alpha^2+\mathrm{m} \alpha+\mathrm{n}=0………...(iii)\ldots\ldots\ldots...(iii) (ii)(ii)নং সমীকরণ হতে পাই, n(2α)2+m⋅2α+l=0\mathrm{n}(2 \alpha)^2+\mathrm{m} \cdot 2 \alpha+l=0 বা, 4nα2+2 mα+l=04 \mathrm{n} \alpha^2+2 \mathrm{~m} \alpha+l=0 ………...(iv)\ldots\ldots\ldots...(iv) α2lm−2mn=α4n2−l2=12lm−4mn∴α2lm−2mn=12lm−4mn\begin{aligned} & \frac{\alpha^2}{l m-2 m n}=\frac{\alpha}{4 n^2-l^2}=\frac{1}{2 l m-4 m n} \\ \therefore \quad & \frac{\alpha^2}{l m-2 m n}=\frac{1}{2 l m-4 m n}\end{aligned} বा, α2lm−2mn=12(lm−2mn)\frac{\alpha^2}{l m-2 m n}=\frac{1}{2(l m-2 m n)} বा, α2=12\alpha^2=\frac{1}{2} ∴α=±12\therefore \quad \alpha= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} আবার, α2lm−2mn=α4n2−l2\frac{\alpha^2}{l m-2 m n}=\frac{\alpha}{4 n^2-l^2} বা, αl m−2mn=1(2n)2−l2\frac{\alpha}{l \mathrm{~m}-2 \mathrm{mn}}=\frac{1}{(2 \mathrm{n})^2-l^2} বা, ±12−m(2n2−l)=1(2n+l)(2n−l)\frac{ \pm \frac{1}{\sqrt{2}}}{-\mathrm{m}\left(2 \mathrm{n}^2-l\right)}=\frac{1}{(2 \mathrm{n}+l)(2 \mathrm{n}-l)} বা, ±12(2n+l)(2n−l)=−m(2n−l)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2 \mathrm{n}+l)(2 \mathrm{n}-l)=-\mathrm{m}(2 \mathrm{n}-l) বা, ±12(2n+l)(2n−l)+m(2n−l)=0\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2 \mathrm{n}+l)(2 \mathrm{n}-l)+\mathrm{m}(2 \mathrm{n}-l)=0 বা, (2n−l){m±12(2n+l)}=0(2 \mathrm{n}-l)\left\{\mathrm{m} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2 \mathrm{n}+l)\right\}=0 হয়, 2n−1=02 \mathrm{n}-1=0 ∴l=2n\therefore \quad l=2 \mathrm{n} অथবা, m±12(2n+l)=0\mathrm{m} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2 \mathrm{n}+l)=0 বा, 2 m±(2n+l)=0\sqrt{2} \mathrm{~m} \pm(2 \mathrm{n}+l)=0 বा, 2 m=±(2n+l)\sqrt{2} \mathrm{~m}= \pm(2 \mathrm{n}+l) বা, 2 m2=(l+2n)22 \mathrm{~m}^2=(l+2 \mathrm{n})^2 [বর্গ করে] অতএব, l=2nl=2 \mathrm{n} অথবা 2 m2=(l+2n)22 \mathrm{~m}^2=(l+2 \mathrm{n})^2. (দেখানো হলো) [বি: দ্র: l, m এবং n এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b এবং c হবে]
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণকুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন