Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] সমীকরণের মূলগুলো জটিল।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ... (i) (i) নং সমীকরণটির নিশ্চায়ক D হলে, [গণিত] যা সর্বদা ঋণাত্মক [গণিত] হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূরগুলো জটিল হবে। (দেখানো হषো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, সমীকরণের মূলগুলো জটিল।

উদ্দীপক

উদ্দীপক : ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta.

সরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 2x2−2(a+b)x+a2+b2=02 x^2-2(a+b) x+a^2+b^2=0
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং সমীকরণটির নিশ্চায়ক D হলে, D={−2(a+b)}2−4.2(a2+b2)D =\{-2(a+b)\}^2-4.2\left(a^2+b^2\right) =4(a+b)2−8(a2+b2)=4(a+b)^2-8\left(a^2+b^2\right) =4(a2+2ab+b2)−8a2−8b2=4\left(a^2+2 a b+b^2\right)-8 a^2-8 b^2 =4a2+8ab+4b2−8a2−8b2=4 a^2+8 a b+4 b^2-8 a^2-8 b^2 =−4a2+8ab−4b2=−4(a2−2ab+b2)=-4 a^2+8 a b-4 b^2=-4\left(a^2-2 a b+b^2\right) =−4(a−b)2<0;=-4(a-b)^2<0 ; যা সর্বদা ঋণাত্মক ∴a≠b\therefore \mathrm{a} \neq \mathrm{b} হলে প্রদত্ত সমীকরণের মূরগুলো জটিল হবে। (দেখানো হषো)

উত্তর

দেওয়া আছে, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূল দুইটি α\alpha এবং β\beta হলে মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই, α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a} ∴α+α2=−ba…….(i)[∵β=α2]\therefore \alpha+\alpha^2=-\frac{b}{a} \ldots \ldots .(i)\left[\because \beta=\alpha^2\right] এবং αβ=ca\alpha \beta=\frac{c}{a} বা, α⋅α2=ca\alpha \cdot \alpha^2=\frac{c}{a} ∴α3=ca\therefore \alpha^3=\frac{c}{a} (i) নং সমীকরণের উভয় পাশে ঘন করে পাই, (α+α2)3=(−ba)3\left(\alpha+\alpha^2\right)^3=\left(-\frac{b}{a}\right)^3 বা, α3+(α2)3+3α⋅α2(α+α2)=−b3a3\alpha^3+\left(\alpha^2\right)^3+3 \alpha \cdot \alpha^2\left(\alpha+\alpha^2\right)=-\frac{b^3}{a^3} বা, ca+(α3)2+3α3(−ba)=−b3a3\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}+\left(\alpha^3\right)^2+3 \alpha^3\left(-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=-\frac{\mathrm{b}^3}{\mathrm{a}^3} বা, ca+(ca)2+3⋅ca(−ba)=−b3a3\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}+\left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right)^2+3 \cdot \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\left(-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=-\frac{\mathrm{b}^3}{\mathrm{a}^3} বা, ca+c2a2−3bca2=−b3a3\frac{c}{a}+\frac{c^2}{a^2}-\frac{3 b c}{a^2}=-\frac{b^3}{a^3} বা, ac+c2−3bca2=−b3a3\frac{a c+c^2-3 b c}{a^2}=-\frac{b^3}{a^3} বা, c(a+c−3b)=−b3ac(a+c-3 b)=-\frac{b^3}{a} বা, a+c−3b=−b3aca+c-3 b=-\frac{b^3}{a c}. বা, a+c=b3ac+3b=3abc−b3aca+c=\frac{b^3}{a c}+3 b=\frac{3 a b c-b^3}{a c}. ∴a+c=b(3ac−b2)ac\therefore \quad a+c=\frac{b\left(3 a c-b^2\right)}{a c}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূনদ্বয় α,β\alpha, \beta. α=rβ\alpha=r \beta হলে, মূলদ্বয় হরে rβ,βr \beta, \beta ∴rβ+β=−ba\therefore \quad r \beta+\beta=-\frac{b}{a} বা, β(r+1)=−ba\beta(r+1)=-\frac{b}{a} বা, β2(r+1)2=b2a2\beta^2(r+1)^2=\frac{b^2}{a^2} [বর্গ করে] বা, \beta^2=\frac{b^2}{a^2(r+1}^2} আবার, rβ⋅β=ca\mathrm{r} \beta \cdot \beta=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} বা, rβ2=car \beta^2=\frac{c}{a} বা, r \cdot \frac{b^2}{a^2(r+1}^2}=\frac{c}{a}[(1) নং হতে মান বসিয়ে]] বা, a2(r+1)2c=rab2a^2(r+1)^2 c=r a b^2 বা, (r+1)2r=ab2a2c\frac{(r+1)^2}{r}=\frac{a b^2}{a^2 c} ∴(r+1)2r=b2ac\therefore \quad \frac{(r+1)^2}{r}=\frac{b^2}{a c} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণসরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে দেখাও যে, সমীকরণের মূলগুলো জটিল। | Prosthuti