Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর : [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর : .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=cot⁡−1x;g(x)=sec⁡xf(x)=\cot^{-1} x ; g(x)=\sec x দৃশ্যকল্প-২ : h(θ)=sin⁡θh(\theta)=\sin \theta

ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ · 2025

উত্তর

cosec⁡⁡−1yx=cot⁡−12−x2x\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{y}{x}=\cot^{-1} \frac{\sqrt{2-x^2}}{x} ∴sec⁡−1y2−x2x=sin⁡−1y2−2x2y2−x2\therefore \sec^{-1} \frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x}=\sin^{-1} \frac{\sqrt{y^2-2 x^2}}{\sqrt{y^2-x^2}} বামপক্ষ =sin⁡sec⁡−1cot⁡cosec⁡⁡−1yx=\sin \sec^{-1} \cot \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{y}{x} =sin⁡sec⁡−1cot⁡cot⁡−1y2−x2x=sin⁡sec⁡−1y2−x2x=sin⁡sin⁡−1y2−2x2y2−x2=y2−2x2y2−x2\begin{aligned} & =\sin \sec^{-1} \cot \cot^{-1} \frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x} \\ & =\sin \sec^{-1} \frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x} \\ & =\sin \sin^{-1} \frac{\sqrt{y^2-2 x^2}}{\sqrt{y^2-x^2}} \\ & =\sqrt{\frac{y^2-2 x^2}{y^2-x^2}}\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴sin⁡sec⁡−1cot⁡cosec⁡⁡−1yx=y2−2x2y2−x2\therefore \sin \sec^{-1} \cot \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{y}{x}=\frac{\sqrt{y^2-2 x^2}}{\sqrt{y^2-x^2}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cot⁡−1xf(\mathrm{x})=\cot^{-1} \mathrm{x} এবং g(x)=sec⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sec \mathrm{x} বামপক্ষ =2f(a+ba−bcot⁡θ2)=2 f\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right) =2cot⁡−1(a+ba−bcot⁡θ2)=2tan⁡−1(1a+ba−bcot⁡θ2)=2tan⁡−1(a−ba+btan⁡θ2)=cos⁡−11−(a−ba+btan⁡θ2)21+(a−ba+btan⁡θ2)2=cos⁡−11−a−ba+btan⁡2θ21+a−ba+btan⁡2θ2=sec⁡−11+a−ba+btan⁡2θ21−a−ba+btan⁡2θ2\begin{aligned} & =2 \cot^{-1}\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right)=2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}}\right) \\ & \left.=2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\cos^{-1} \frac{1-\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)^2}{1+\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right.}\right)^2 \\ & =\cos^{-1} \frac{1-\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1+\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}=\sec^{-1} \frac{1+\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1-\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}\end{aligned} =sec⁡−1(a+b)+(a−b)θ2sin⁡2θ2cos⁡2θ2sin⁡2θ2=sec⁡−1(a+b)−(a−b)cos⁡2θ2+(a−b)sin⁡2θ2cos⁡2θ2(a+b)cos⁡2θ2−(a−b)sin⁡2θ2=sec⁡−1acos⁡2θ2+bcos⁡2θ2+asin⁡2θ2−bsin⁡2θ2acos⁡2θ2+bsin⁡2θ2−asin⁡2θ2+bsin⁡2θ2=sec⁡−1a(cos⁡2θ2+sin⁡2θ2)+b(cos⁡2θ2−sin⁡2θ2)a(cos⁡2θ2−sin⁡2θ2)+b(cos⁡2θ2+sin⁡2θ2)=sec⁡−1a⋅1+bcos⁡2acos⁡θ+b⋅1[∵sin⁡2A+cos⁡2A=1;cos⁡2a−sin⁡2a=cos⁡2a]=sec⁡−1a+bsec⁡θa=sec⁡−1asec⁡θ+ba+bsec⁡θ=sec⁡−1ag(θ)+ba+bg(θ)[∵g(θ)=sec⁡θ]\begin{aligned} &= \sec^{-1} \frac{(a+b)+(a-b) \frac{\theta}{2} \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}{\frac{\sin^2 \theta}{2}} \\ &= \sec^{-1} \frac{(a+b)-(a-b) \frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}+(a-b) \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}{(a+b) \cos^2 \frac{\theta}{2}-(a-b) \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &=\sec^{-1} \frac{a \cos^2 \frac{\theta}{2}+b \cos^2 \frac{\theta}{2}+a \sin^2 \frac{\theta}{2}-b \sin^2 \frac{\theta}{2}}{a \cos^2 \frac{\theta}{2}+b \sin^2 \frac{\theta}{2}-a \sin^2 \frac{\theta}{2}+b \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &=\sec^{-1} \frac{a\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}+\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)+b\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)}{a\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)+b\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}+\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)} \\ &=\sec^{-1} \frac{a \cdot 1+b \cos^2}{a \cos \theta+b \cdot 1} \\ & \quad\left[\because \sin^2 A+\cos^2 A=1 ; \cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2 a\right] \\ &=\sec^{-1} \frac{a+\frac{b}{\sec \theta}}{a}=\sec^{-1} \frac{a \sec \theta+b}{a+b \sec \theta} \\ &=\sec^{-1} \frac{a g(\theta)+b}{a+b g(\theta)}[\because g(\theta)=\sec \theta]\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴2f(a+ba−bcot⁡θ2)=sec⁡−1ag(θ)+ba+bg(θ)\therefore 2 f\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right)=\sec^{-1} \frac{\mathrm{ag}(\theta)+\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{bg}(\theta)}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(θ)=sin⁡θ\mathrm{h}(\theta)=\sin \theta ∴h(π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡এবংh(π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\therefore \quad h\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos এবংh(\pi-x)=\sin (\pi-x)=\sin x এখানে, 3h(π2+x)+h(π−x)=1\sqrt{3} h\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+h(\pi-x)=1 বা, 3cos⁡x+sin⁡x=1\sqrt{3} \cos x+\sin x=1 বা, 32cos⁡x+12sin⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+12\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} বা 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡x⋅cos⁡π6+sin⁡x⋅sin⁡π6=12\cos x \cdot \cos \frac{\pi}{6}+\sin x \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} বা, cos⁡(x−π6)=cos⁡π3\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{3} বा, x−π6=2nπ±π3,n∈Zx-\frac{\pi}{6}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} বা, x=2nπ±π3+π6=2nπ+π2,2nπ−π6=(4n+1)π2,(12n−1)π6x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=2 n \pi+\frac{\pi}{2}, 2 n \pi-\frac{\pi}{6}=(4 n+1) \frac{\pi}{2},(12 n-1) \frac{\pi}{6} n=0n=0 হলে, x=π2,−π6x=\frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{6} n=1n=1 হলে, x=5π2,11π6x=\frac{5 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6} n=−1n=-1 হলে, x=−3π2,−13π6x=\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-13 \pi}{6} −2π<x<2π-2 \pi<x<2 \pi ব্যবধিতে x=−3π2,−π6,π2,11π6x=-\frac{3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}. নির্ণেয় সমাধান : x=−3π2,−π6,π2,11π6x=-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন