Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

কোন শর্তে, [গণিত] সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে?

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক [গণিত] কিন্তু নিশ্চাকের মান ঋণাত্মক হলে, মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

কোন শর্তে, সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে?

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=3x3−2x2+x−4f(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-4 দৃশ্যকল্প-২: g(x)=x4+3x3+x2+13x+30\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}+3 \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}+13 \mathrm{x}+30

রংপুর সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 2x2−2(a+b)x+a2+b2=02 \mathrm{x}^{2}-2(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{x}+\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=0 সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি এর নিশ্চায়কের মান শূন্য অথবা ধনাত্মক হয়। সমীকরণটির নিশ্চায়ক ={−2(a+b)}2−4.2(a2+b2)=\{-2(a+b)\}^{2}-4.2\left(a^{2}+b^{2}\right) =4(a2+2ab+b2)−8(a2+b2)=4\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)-8\left(a^{2}+b^{2}\right) =4(a2+2ab+b2−2a2−2b2)=4\left(a^{2}+2 a b+b^{2}-2 a^{2}-2 b^{2}\right) =4(−a2−b2+2ab)=4\left(-a^{2}-b^{2}+2 a b\right) =−4(a2−2ab+b2)=-4\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right) =−4(a−b)2≤0=-4(a-b)^{2} \leq 0 কিন্তু নিশ্চাকের মান ঋণাত্মক হলে, মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। কাজেই সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ, (a−b)2=0(a-b)^{2}=0 বা, a−b=0a-b=0 ∴a=b\therefore \mathrm{a}=\mathrm{b} ∴a=b\therefore a=b হলে সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হবে।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=3x3−2x2+x−4f(x)=3 x^{3}-2 x^{2}+x-4 এবং f(x)=0f(x)=0 বা, 3x3−2x2+x−4=03 \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-4=0 সমীকরণটির মূলত্রয় a,b,c\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} ∴a+b+c=−−23=23\therefore \quad a +b+c=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3} ab+bc+ca=13a b +b c+c a=\frac{1}{3} abc=−−43=43a b c =-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3} Σ1a2b=1a2b+1a2c+1b2c+1b2a+1c2a+1c2b\Sigma \frac{1}{a^{2} b} =\frac{1}{a^{2} b}+\frac{1}{a^{2} c}+\frac{1}{b^{2} c}+\frac{1}{b^{2} a}+\frac{1}{c^{2} a}+\frac{1}{c^{2} b} =bc2+b2c+ca2+c2a+ab2+a2ba2b2c2=\frac{b c^{2}+b^{2} c+c a^{2}+c^{2} a+a b^{2}+a^{2} b}{a^{2} b^{2} c^{2}} =(a2b+ca2+abc)+(b2c+ab2+abc)+(bc2+ac2+abc)−3abca2b2c2=\frac{\left(a^{2} b+c a^{2}+a b c\right)+\left(b^{2} c+a b^{2}+a b c\right)+\left(b c^{2}+a c^{2}+a b c\right)-3 a b c}{a^{2} b^{2} c^{2}} =a(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)−3abca2b2c2=\frac{a(a b+b c+c a)+b(a b+b c+c a)+c(a b+b c+c a)-3 a b c}{a^{2} b^{2} c^{2}} =\frac{(a+b+c)(a b+b c+c a)-3 a b c}{(a b c}^{2}} =23×13−3×43(43)2=\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}-3 \times \frac{4}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}} =29−4169=−349×916=−178=\frac{\frac{2}{9}-4}{\frac{16}{9}}=\frac{-34}{9} \times \frac{9}{16}=-\frac{17}{8} নির্ণেয় মান : −178-\frac{17}{8}.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x4+3x3+x2+13x+30\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4}+3 \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}+13 \mathrm{x}+30 এবং g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, x4+3x3+x2+13x+30=0x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+13 x+30=0
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং সমীকরণের একটি মূল 1−2i1-2 \mathrm{i} আমরা জানি, জটিল মূলগুলি যুগলরূপে থাকে। সুতরাং সমীকরণটির অপর একটি মূল 1+2i1+2 \mathrm{i} (1+2i)(1+2 i) ও (1−2i)(1-2 i) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, x2\mathrm{x}^{2} - (মূলদ্বয়ের যোগফল x+\mathrm{x}+ মূলদ্বয়ের গুণফল =0=0 বা, x2−(1+2i+1−2i)x+(1+2i)(1−2i)=0x^{2}-(1+2 i+1-2 i) x+(1+2 i)(1-2 i)=0 বা, x2−2x+1−4i2=0x^{2}-2 x+1-4 i^{2}=0 বা, x2−2x+1+4=0[∵i2=−1]x^{2}-2 x+1+4=0 \quad\left[\because i^{2}=-1\right] ∴x2−2x+5=0\therefore \quad x^{2}-2 x+5=0 এখানে, x2−2x+5x^{2}-2 x+5 রাশিটি (i) নং এর একটি উৎপাদক। এখন, x4+3x3+x2+13x+30=0x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+13 x+30=0 বা, x4−2x3+5x2+5x3−10x2+25x+6x2−12x+30=0x^{4}-2 x^{3}+5 x^{2}+5 x^{3}-10 x^{2}+25 x+6 x^{2}-12 x+30=0 বা, x2(x2−2x+5)+5x(x2−2x+5)+6(x2−2x+5)=0x^{2}\left(x^{2}-2 x+5\right)+5 x\left(x^{2}-2 x+5\right)+6\left(x^{2}-2 x+5\right)=0 বা, (x2−2x+5)(x2+5x+6)=0\left(x^{2}-2 x+5\right)\left(x^{2}+5 x+6\right)=0 ∴\therefore হয় x2−2x+5=0x^{2}-2 x+5=0 ∴x=1+2i,1−2i\therefore \quad x=1+2 i, 1-2 i অথবা, x2+5x+6=0x^{2}+5 x+6=0 বা, (x+3)(x+2)=0(x+3)(x+2)=0 ∴x=−3,−2\therefore x=-3,-2 ∴\therefore সমীকরণটির নির্ণেয় সমাধান, x=−3,−2,1+2i,1−2i\mathrm{x}=-3,-2,1+2 \mathrm{i}, 1-2 \mathrm{i}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণরংপুর সরকারি কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন