Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের একটি মুল অপরটির তিনগুণ হলে, [গণিত] এর মান কত?

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] নং ও [গণিত] নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের একটি মুল অপরটির তিনগুণ হলে, এর মান কত?

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: x3+qx+r=0\mathrm{x}^3+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma.

Jessore · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 3x2−mx+25=03 \mathrm{x}^2-\mathrm{mx}+25=0….(1)\ldots.(1) ধরি, (i)(i) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha ∴\therefore অপর মূলটি 3α3 \alpha এখন, α+3α=−−m3\alpha+3 \alpha=-\frac{-m}{3} বা, 4α=m34 \alpha=\frac{m}{3} বা, α=m12\alpha=\frac{\mathrm{m}}{12}….(2)\ldots.(2) এবং α⋅3α=253\alpha \cdot 3 \alpha=\frac{25}{3} বা, α2=259\alpha^2=\frac{25}{9} ∴α=±53\therefore \alpha= \pm \frac{5}{3}….(3)\ldots.(3) (2)(2) নং ও (3)(3) নং সমীকরণ হতে পাই, m12=±53\frac{m}{12}= \pm \frac{5}{3} বা, m=±5×123m= \pm \frac{5 \times 12}{3} ∴m=±20\therefore \mathrm{m}= \pm 20 ∴m\therefore \mathrm{m} এর মান : ±20\pm 20.

উত্তর

দেওয়া আছে, x3+qx+r=0\mathrm{x}^3+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 বা, x3+0⋅x2+qx+r=0x^3+0 \cdot x^2+q x+r=0 ……..(1)\ldots\ldots..(1) (1)(1) নং সমীকরণে তিনটি মূল α,β,γ\alpha, \beta, \gamma ∴α+β+γ=0\therefore \alpha+\beta+\gamma=0 বা, β+γ=−α\beta+\gamma=-\alpha αβ+βγ+γα=g1=q\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{g}{1}=q এবং αβγ=−r1=−r\alpha \beta \gamma=-\frac{r}{1}=-r আবার, (i)(i) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha হওয়ায়, α3+qα+r=0\alpha^3+q \alpha+r=0 বা, α3=−r−qα\alpha^3=-\mathrm{r}-\mathrm{q} \alpha বামপক্ষ =(β−γ)2=((β+γ)2−4βγ=(\beta-\gamma)^2=\left((\beta+\gamma)^2-4 \beta \gamma\right. =(−α)2−4(−rα)[∵β+γ=−α=(-\alpha)^2-4\left(\frac{-r}{\alpha}\right)[\because \beta+\gamma=-\alpha এবং αβγ=−r]\alpha \beta \gamma=-r] =α2+4rα=α3+4rα=−r−qα+4rα=3r−qαα==\alpha^2+\frac{4 r}{\alpha}=\frac{\alpha^3+4 r}{\alpha}=\frac{-r-q \alpha+4 r}{\alpha}=\frac{3 r-q \alpha}{\alpha}= ডানপক্ষ ∴(β−γ)2=3r−qαα\therefore(\beta-\gamma)^2=\frac{3 r-q \alpha}{\alpha}. (দেখানো হলো )

উত্তর

দেওয়া আছে, x3+qx+r=0\mathrm{x}^3+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 বা, x3+0⋅x2+qx+r=0x^3+0 \cdot x^2+q x+r=0 …...(i)\ldots...(i) (1)(1) নং সমীকরণের তিনটি মূল α,β,γ\alpha, \beta, \gamma ∴α+β+γ=0\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=0 বা, α+β=−γ\alpha+\beta=-\gamma বা, β+γ=−α\beta+\gamma=-\alpha বা, α+γ=−β\alpha+\gamma=-\beta αβ+βγ+γα=q1=q\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{q}{1}=q এবং αβγ=−r1=−r\alpha \beta \gamma=-\frac{\mathrm{r}}{1}=-\mathrm{r} β+γα3,γ+αβ3,α+βγ3\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}, \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}, \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। এখন, β+γα3+γ+αβ3+α+βγ3\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}+\frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}+\frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} \begin{aligned} & =\frac{-\alpha}{\alpha^3}+\frac{-\beta}{\beta^3}+\frac{-\gamma}{\gamma^3}=\frac{-1}{\alpha^2}-\frac{1}{\beta^2}-\frac{1}{\gamma^2}=\frac{-\beta^2 \gamma^2-\gamma^2 \alpha^2-\alpha^2 \beta^2}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2} \\ & =\frac{-\left(\alpha^2 \beta^2+\beta^2 \gamma^2+\gamma^2 \alpha^2\right)}{(\alpha \beta \gamma}^2}=\frac{-\left\{(\alpha \beta)^2+(\gamma \alpha)^2+(\beta \gamma)^2\right\}}{(\alpha \beta \gamma)^2} \\ & =\frac{-\left\{(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)^2-2(\alpha \beta \cdot \beta \gamma+\beta \gamma \cdot \gamma \alpha+\gamma \alpha \cdot \alpha \beta)\right\}}{(\alpha \beta \gamma)^2} \\ & =\frac{-\left\{(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)^2-2\left(\alpha^2 \beta \gamma+\alpha \beta^2 \gamma+\alpha \beta \gamma^2\right)\right.}{(\alpha \beta \gamma)^2} \\ & =\frac{-\left\{(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)^2-2 \alpha \beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma)\right\}}{(\alpha \beta \gamma)^2} \\ & =\frac{-\left\{q^2-2(-r) \cdot 0\right\}}{(-r)^2}=\frac{-q^2}{r^2}\end{aligned} আবার, β+γα3⋅γ+αβ3+γ+αβ3⋅γ+βγ3+α+βγ3⋅β+γα3\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \cdot \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}+\frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} \cdot \frac{\gamma+\beta}{\gamma^3}+\frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} \cdot \frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \begin{aligned} & =\frac{-\alpha}{\alpha^3} \cdot \frac{-\beta}{\beta^3}+\frac{-\beta}{\beta^3} \cdot \frac{-\alpha}{\gamma^3}+\frac{-\gamma}{\gamma^3} \cdot \frac{-\alpha}{\alpha^3} \\ & =\frac{1}{\alpha^2 \beta^2}+\frac{1}{\beta^2 \gamma^2}+\frac{1}{\alpha^2 \gamma^2}=\frac{\gamma^2+\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2} \\ & =\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)}{(\alpha \beta \gamma}^2}=\frac{0^2-2 a}{(-r}^2}=\frac{-2 a}{r^2}\end{aligned} আবার, \frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \cdot \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} \cdot \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3}=\frac{-\alpha}{\alpha^3} \cdot \frac{\mp \beta}{\beta^3} \cdot \frac{-\gamma}{\gamma^3}=\frac{-1}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^2}=\frac{-1}{(\alpha \beta \gamma}^2}=\frac{-1}{(-r}^2}=\frac{-1}{r} নির্ণেয় β+γα3⋅γ+αβ3+α+βγ3\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \cdot \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}+\frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(β+γα3+γ+αβ3+α+βγ3)x2+(β+γα3⋅γ+αβ3+γ+αβ3⋅α+βγ3+α+βγ⋅β+γα3)xx^2-\left(\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}+\frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}+\frac{\alpha+\beta}{\gamma^3}\right) x^2+\left(\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \cdot \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}+\frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} \cdot \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3}+\frac{\alpha+\beta}{\gamma} \cdot \frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}\right) x −(β+γα3⋅γ+αβ3⋅α+βγ3)=0-\left(\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} \cdot \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} \cdot \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3}\right)=0 x3−(−q2r2)x2+(−2qr2)x−(−1r2)=0x^3-\left(-\frac{q^2}{r^2}\right) x^2+\left(-\frac{2 q}{r^2}\right) x-\left(-\frac{1}{r^2}\right)=0 বা, x3+g2x2r2−2gxr2+1r2=0x^3+\frac{g^2 x^2}{r^2}-\frac{2 g x}{r^2}+\frac{1}{r^2}=0 ∴r2x3+q2x2−2qx+1=0\therefore \quad r^2 x^3+q^2 x^2-2 q x+1=0 নির্ণেয় সমীকরণ, r2x3+q2x2−2qx+1=0r^2 x^3+q^2 x^2-2 q x+1=0.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন