Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের মূলদ্ধয় সমান হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] সমীকরণটির নিশ্চায়ক [গণিত] সমীকরণটির মূলজয় সমান হলে, নিশ্চায়ক = 0 অর্থাৎ [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের মূলদ্ধয় সমান হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : φ(x)=ax3−42x2+63x−27\varphi(\mathrm{x})=a \mathrm{x}^3-42 \mathrm{x}^2+63 \mathrm{x}-27.

Comilla · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, x2−2bx+(2 b2−2bp+p2)=0\mathrm{x}^2-2 \mathrm{bx}+\left(2 \mathrm{~b}^2-2 \mathrm{bp}+\mathrm{p}^2\right)=0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক =(−2b)2−4⋅1(2b2−2bp+p2)=(-2 b)^2-4 \cdot 1\left(2 b^2-2 b p+p^2\right) =4b2−8b2+8bp−4p2=−4b2+8bp−4p2\begin{aligned} & =4 b^2-8 b^2+8 b p-4 p^2 \\ & =-4 b^2+8 b p-4 p^2\end{aligned} সমীকরণটির মূলজয় সমান হলে, নিশ্চায়ক = 0 অর্থাৎ −4b2+8bp−4p2=0-4 b^2+8 b p-4 p^2=0 বা. −4(b2−2bp+p2)=0-4\left(b^2-2 b p+p^2\right)=0 বা, b2−2bp+p2=0b^2-2 b p+p^2=0 বা. (b−p)2=0(b-p)^2=0 বা, b−p=0b-p=0 ∴b=p\therefore \mathrm{b}=\mathrm{p}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(x)=ax3−42x2+63x−27\varphi(x)=a x^3-42 x^2+63 x-27 এবং φ(x)=0\varphi(x)=0 বা, ax3−42x2+63x−27=0a x^3-42 x^2+63 x-27=0 বা, 8x3−42x2+63x−27=0[∵a=8]8 x^3-42 x^2+63 x-27=0 \quad[\because a=8] …….(i)\ldots\ldots.(i) ধরি, (i)(i) নং এর মূলগুলো αr,α,αr\frac{\alpha}{r}, \alpha, \alpha r ∴αr,α,αr=−−278\therefore \quad \frac{\alpha}{r}, \alpha, \alpha r=-\frac{-27}{8} বা, α3=278\alpha^3=\frac{27}{8} বা, α3=(32)3\alpha^3=\left(\frac{3}{2}\right)^3 বা, α=32\alpha=\frac{3}{2} এবং αr+α+αr=−−428\frac{\alpha}{r}+\alpha+\alpha r=-\frac{-42}{8} বা, α(1r+1+r)=214\alpha\left(\frac{1}{r}+1+r\right)=\frac{21}{4} বা, 32(1r+1+r)=214[α=32\frac{3}{2}\left(\frac{1}{r}+1+r\right)=\frac{21}{4}\left[\alpha=\frac{3}{2}\right. বসিয়ে] বা, 1+r+r2r=72\frac{1+r+r^2}{r}=\frac{7}{2} বা, 2r2+2r+2=7r2 r^2+2 r+2=7 r বা, 2r2−5r+2=02 r^2-5 r+2=0 বা, 2r2−4r−r+2=02 r^2-4 r-r+2=0 বা, 2r(r−2)−1(r−2)=02 r(r-2)-1(r-2)=0 বা, (r−2)(2r−1)=0(\mathrm{r}-2)(2 \mathrm{r}-1)=0 হয়, r−2=0\mathrm{r}-2=0 বা, r=2r=2 অথবা, 2r−1=02 \mathrm{r}-1=0 বা, r=12r=\frac{1}{2} α=32\alpha=\frac{3}{2} এবং r=2r=2 হলে, মূলগুলো :αrα,αr=32⋅12,32,32⋅2=34,32,3: \frac{\alpha}{r} \alpha, \alpha r=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \cdot 2=\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3 আবার, α=32\alpha=\frac{3}{2} এবং r=12r=\frac{1}{2} হলে মূলগুলো :αrα,αr: \frac{\alpha}{r} \alpha, \alpha r =3212,32,32,12=32,2,32,34=3,32,34=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}=\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}=3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4} নির্ণেয় মূলত্রয় 3,323, \frac{3}{2} ও 34\frac{3}{4}

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(x)=ax3−42x2+63x−27\varphi(x)=a x^3-42 x^2+63 x-27 a=0a=0 এবং φ(x)=0\varphi(x)=0 হলে, 0⋅x3−42x2+63x−27=00 \cdot x^3-42 x^2+63 x-27=0 বা, −42x2+63x−27=0-42 x^2+63 x-27=0 বা, −3(14x2−21x+9)=0-3\left(14 x^2-21 x+9\right)=0 বা, 14x2−21x+9=014 x^2-21 x+9=0 (1)(1) নং এর মূলতায় β,γ\beta, \gamma হলে, β+γ=−−2114=32\beta+\gamma=-\frac{-21}{14}=\frac{3}{2} এবং βγ=914\beta \gamma=\frac{9}{14} আবার, β+γ=32\beta+\gamma=\frac{3}{2} বা, 2β+2γ=32 \beta+2 \gamma=3 বা, 3−2β=2γ3-2 \beta=2 \gamma অথবা, 3−2γ=2β3-2 \gamma=2 \beta এখন, ( 3−2β3-2 \beta ) ও ( 3−2γ3-2 \gamma ) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, x2−{(3−2β)+(3−2γ)}x+(3−2β)(3−2γ)=0x^2-\{(3-2 \beta)+(3-2 \gamma)\} x+(3-2 \beta)(3-2 \gamma)=0 বা, x2−(2γ+2β)x+2γ⋅2β=0[∵3−2β=2γx^2-(2 \gamma+2 \beta) x+2 \gamma \cdot 2 \beta=0[\because 3-2 \beta=2 \gamma এবং 3−2γ=2β]3-2 \gamma=2 \beta] বা, x2−2(β+γ)x+4βγ=0x^2-2(\beta+\gamma) x+4 \beta \gamma=0 বা, x2−2⋅32x+4⋅914=0x^2-2 \cdot \frac{3}{2} x+4 \cdot \frac{9}{14}=0 বা, x2−3x+187=0x^2-3 x+\frac{18}{7}=0 ∴7x2−21x+18=0\therefore \quad 7 x^2-21 x+18=0 নির্বের সমীকরণ 7x2−21x+18=07 x^2-21 x+18=0.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন