$u = 2b, v = 2(a + b), w = 3a - 2b$ এর জন্য $f(x) = 0$ সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, $a = 2b$ অথবা, $4a = 11b$ । অতএব দেখাও যে, a, b বাস্তব হলে $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব

Question

$u = 2b, v = 2(a + b), w = 3a - 2b$ এর জন্য $f(x) = 0$ সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, $a = 2b$ অথবা, $4a = 11b$ । অতএব দেখাও যে, a, b বাস্তব হলে $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব হবে।

Accepted Answer

দেওয়া আছে, $f(x) = u * x^ 2 + vx + w \ldots\ldots(i)$ এবং $f(x) = 0 u = 2b$ এবং $v = 2(a + b)$ এবং $w = 3a - 2b $হলে, (i) নং হতে পাই, $2bx^ 2 + 2(a + b) x + 3a - 2b = 0 \ldots\ldots...(ii)$ ধরি, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$ হলে অপরটি হবে $2\alpha$ তাহলে মূল এবং সহগের সম্পর্ক হতে পাই, $ \alpha+2 \alpha=-\frac{2(a+b)}{2 b} $ বা, $ 3 \alpha=-\frac{(a+b)}{b} $ $	herefore \quad \alpha=-\frac{(a+b)}{3 b} $ এবং $ \alpha \cdot 2 \alpha=\frac{3 a-2 b}{2 b} $ বা, $2 \alpha^2=\frac{3 a-2 b}{2 b} $ বা, $ 2 \cdot\left\{-\frac{(a+b)}{3 b}ight\}^2=\frac{3 a-2 b}{2 b} $ বা, $ \frac{2(a+b)^2}{9 b^2}=\frac{3 a-2 b}{2 b}$ বা, $4(a+b)^2=9 b(3 a-2 b)$ বা, $4 a^2+8 a b+4 b^2=27 a b-18 b^2$ বা, $4 a^2-19 a b+22 b^2=0$ বা, $4 a^2-11 a b-8 a b+22 b^2=0$ বা, $a(4 a-11 b)-2 b(4 a-11 b)=0$ বা, $(a-2 b)(4 a-11 b)=0$ হয়, $a-2 b=0 \quad$ অথবা, $4 a-11 b=0$ $	herefore \quad a=2 b \quad 	herefore 4 a=11 b$ $	herefore a=2 b$ অथना $4 a=11 b$, (প্রমাণিত) যেহেতু a ও b এর মানগুলো বাস্তব। সুতরাং $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে যদি সমীকরণের নিশ্চায়ক > 0 হয়। (ii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক $ =\{2(a+b)\}^2-4 \cdot 2 b \cdot(3 a-2 b) $ $ =4(a+b)^2-24 a b+16 b^2 $ $ =4 a^2+8 a b+4 b^2-24 a b+16 b^2 $ $ =4 a^2-16 a b+20 b^2 $ $ =4 a^2-16 a b+16 b^2+4 b^2 $ $ =(2 a-4 b)^2+4 b^2>0 ;$ সুতরাং, $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ বাস্তব হলে, $f(\mathrm{x})=0$ সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper CQ — $u = 2b, v = 2(a + b), w = 3a - 2b$ এর জন্য $f(x) = 0$ সমীকরণটির একটি মূ

আরো প্রশ্ন দেখো