Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর জন্য [গণিত] সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা, [গণিত] । অতএব দেখাও যে, a, b বাস্তব হলে [গণিত] সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব হবে।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] হলে, (i) নং হতে পাই, [গণিত] ধরি, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে অপরটি হবে [গণিত] তাহলে মূল এবং সহগের সম্পর্ক হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অথবা, [গণিত] অथना [গণিত] , (প্রমাণিত) যেহেতু a ও b এর মানগুলো বাস্তব। সুতরাং [গণিত] সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে যদি সমীকরণের নিশ্চায়ক > 0 হয়। (ii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক [গণিত] সুতরাং, [গণিত] বাস্তব হলে, [গণিত] সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

এর জন্য সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, অথবা,…

উদ্দীপক

f(x)=ux2+vx+wf(x) = u x^ 2 + vx + w একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল =11+−5=\frac{1}{1+\sqrt{-5}} =11+i5=1−i5(1+i5(1−i5))=\frac{1}{1+i \sqrt{5}}=\frac{1-i \sqrt{5}}{(1+i \sqrt{5}(1-i \sqrt{5}))} =1−i512−(i5)2=1−i51−i2⋅5=1−i51+5=1−i56=\frac{1-i \sqrt{5}}{1^2-(i \sqrt{5})^2}=\frac{1-i \sqrt{5}}{1-i^2 \cdot 5}=\frac{1-i \sqrt{5}}{1+5}=\frac{1-i \sqrt{5}}{6} আমরা জানি, মূলদ সহগবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের মূল জোড়ায় থাকে। তাহলে অপর মূলটি হবে 1+i56\frac{1+i \sqrt{5}}{6} ∴\therefore মূলদ্বয়ের যোগফল =1−i56+1+i56=\frac{1-\mathrm{i} \sqrt{5}}{6}+\frac{1+\mathrm{i} \sqrt{5}}{6} =1−i5+1+i56=26=13=\frac{1-i \sqrt{5}+1+i \sqrt{5}}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ∴\therefore মূলদ্বয়ের গুণফল =1−i56×1+i56=\frac{1-i \sqrt{5}}{6} \times \frac{1+i \sqrt{5}}{6} =12−(i5)236=1−i2⋅536=1+536=636=16=\frac{1^2-(i \sqrt{5})^2}{36}=\frac{1-i^2 \cdot 5}{36}=\frac{1+5}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} নির্ণেয় সমীকরণ, x2x^2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল) xx + মূলম্বয়ের গুণফল = 0 বা, x2−13x+16=0x^2-\frac{1}{3} x+\frac{1}{6}=0 ∴6x2−2x+1=0.\therefore 6 x^2-2 x+1=0 .

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=u∗x2+vx+w……(i)f(x) = u * x^ 2 + vx + w \ldots\ldots(i) এবং f(x)=0u=2bf(x) = 0 u = 2b এবং v=2(a+b)v = 2(a + b) এবং w=3a−2bw = 3a - 2bহলে, (i) নং হতে পাই, 2bx2+2(a+b)x+3a−2b=0……...(ii)2bx^ 2 + 2(a + b) x + 3a - 2b = 0 \ldots\ldots...(ii) ধরি, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha হলে অপরটি হবে 2α2\alpha তাহলে মূল এবং সহগের সম্পর্ক হতে পাই, α+2α=−2(a+b)2b\alpha+2 \alpha=-\frac{2(a+b)}{2 b} বা, 3α=−(a+b)b3 \alpha=-\frac{(a+b)}{b} ∴α=−(a+b)3b\therefore \quad \alpha=-\frac{(a+b)}{3 b} এবং α⋅2α=3a−2b2b\alpha \cdot 2 \alpha=\frac{3 a-2 b}{2 b} বা, 2α2=3a−2b2b2 \alpha^2=\frac{3 a-2 b}{2 b} বা, 2⋅{−(a+b)3b}2=3a−2b2b2 \cdot\left\{-\frac{(a+b)}{3 b}\right\}^2=\frac{3 a-2 b}{2 b} বা, 2(a+b)29b2=3a−2b2b\frac{2(a+b)^2}{9 b^2}=\frac{3 a-2 b}{2 b} বা, 4(a+b)2=9b(3a−2b)4(a+b)^2=9 b(3 a-2 b) বা, 4a2+8ab+4b2=27ab−18b24 a^2+8 a b+4 b^2=27 a b-18 b^2 বা, 4a2−19ab+22b2=04 a^2-19 a b+22 b^2=0 বা, 4a2−11ab−8ab+22b2=04 a^2-11 a b-8 a b+22 b^2=0 বা, a(4a−11b)−2b(4a−11b)=0a(4 a-11 b)-2 b(4 a-11 b)=0 বা, (a−2b)(4a−11b)=0(a-2 b)(4 a-11 b)=0 হয়, a−2b=0a-2 b=0 \quad অথবা, 4a−11b=04 a-11 b=0 ∴a=2b∴4a=11b\therefore \quad a=2 b \quad \therefore 4 a=11 b ∴a=2b\therefore a=2 b অथना 4a=11b4 a=11 b, (প্রমাণিত) যেহেতু a ও b এর মানগুলো বাস্তব। সুতরাং f(x)=0f(x) = 0 সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে যদি সমীকরণের নিশ্চায়ক > 0 হয়। (ii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক ={2(a+b)}2−4⋅2b⋅(3a−2b)=\{2(a+b)\}^2-4 \cdot 2 b \cdot(3 a-2 b) =4(a+b)2−24ab+16b2=4(a+b)^2-24 a b+16 b^2 =4a2+8ab+4b2−24ab+16b2=4 a^2+8 a b+4 b^2-24 a b+16 b^2 =4a2−16ab+20b2=4 a^2-16 a b+20 b^2 =4a2−16ab+16b2+4b2=4 a^2-16 a b+16 b^2+4 b^2 =(2a−4b)2+4b2>0;=(2 a-4 b)^2+4 b^2>0 ; সুতরাং, a,b\mathrm{a}, \mathrm{b} বাস্তব হলে, f(x)=0f(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ux2+vx+wf(x)=u x^2+v x+w এখন, u=p,v=8(q−p)u=p, v=8(q-p) w=4(4p−8q+r)w= 4(4 p-8 q+r) এবং f(x)=0f(x)=0 হলে, px2+8(q−p)x+4(4p−8q+r)=0p x^2+8(q-p) x+4(4 p-8 q+r)=0
……..(i)(i)\ldots\ldots.. (i) (i)
নং সমীকরণের মূল দুইটি (4−2α)(4-2 \alpha) এবং (4−2β)(4-2 \beta) হলে, মূল এবং সহগের সম্পর্ক হতে পাই, (4−2α)+(4−2β)=−8(q−p)p(4-2 \alpha)+(4-2 \beta)=-\frac{8(q-p)}{p} বা, 8−2(α+β)=−8(q−p)p8-2(\alpha+\beta)=-\frac{8(q-p)}{p} বা, −2(α+β)=−8(q−p)p−8-2(\alpha+\beta)=\frac{-8(q-p)}{p}-8 বা, −2(α+β)=−8q+8p−8pp-2(\alpha+\beta)=\frac{-8 q+8 p-8 p}{p} বা, 2(α+β)=8qp2(\alpha+\beta)=\frac{8 q}{p} বা, (α+β)=8q2p∴α+β=4qp(\alpha+\beta)=\frac{8 q}{2 p} \therefore \alpha+\beta=\frac{4 q}{p} এবং (4−2α)(4−2β)=4(4p−8q+r)p(4-2 \alpha)(4-2 \beta)=\frac{4(4 p-8 q+r)}{p} বা, 16−8(α+β)+4αβ=4(4p−8q+r)p16-8(\alpha+\beta)+4 \alpha \beta=\frac{4(4 p-8 q+r)}{p} বা, 16+4αβ=4(4p−8q+r)p+8(α+β)16+4 \alpha \beta=\frac{4(4 p-8 q+r)}{p}+8(\alpha+\beta) বা, 16+4αβ=4(4p−8q+r)p+32qp[∵α+β=4qp]16+4 \alpha \beta=\frac{4(4 p-8 q+r)}{p}+\frac{32 q}{p}\left[\because \alpha+\beta=\frac{4 q}{p}\right] বা, 16+4αβ=16p−32q+4r+32qp16+4 \alpha \beta=\frac{16 p-32 q+4 r+32 q}{p} বা, 16+4αβ=16p+4rp16+4 \alpha \beta=\frac{16 p+4 r}{p} বা, 4αβ=16p+4rp−164 \alpha \beta=\frac{16 p+4 r}{p}-16 বা, 4αβ=16p+4r−16pp=4rp4 \alpha \beta=\frac{16 p+4 r-16 p}{p}=\frac{4 r}{p} ∴αβ=rp\therefore \quad \alpha \beta=\frac{r}{p} ∴α\therefore \alpha ও β\beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(α+β)x+αβ=0\mathrm{x}^2-(\alpha+\beta) \mathrm{x}+\alpha \beta=0 বা, x2−(4qp)x+(rp)=0x^2-\left(\frac{4 q}{p}\right) x+\left(\frac{r}{p}\right)=0 ∴px2−4qx+r=0\therefore p x^2-4 q x+r=0 নির্ণেয় সমীকরণ, px2−4qx+r=0\mathrm{px}^2-4 \mathrm{qx}+\mathrm{r}=0.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণবরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন