Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য।

উত্তর: আমরা জানি, এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] যেখানে, [গণিত] এবং [গণিত] এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল [গণিত] , [গণিত] এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 32x3−48x2+22x−3=032 x^3-48 x^2+22 x-3=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: (1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…..+a2nx2n\left(1+x+x^2\right)^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots . .+a_{2 n} x^{2 n}.

বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ · 2025

উত্তর

আমরা জানি, এককের জটিল ঘনমূল 1,ω,ω21, \omega, \omega^2 যেখানে, ω=−1+i32\omega=\frac{-1+\mathrm{i} \sqrt{3}}{2} এবং ω2=−1−i32\omega^2=\frac{-1-\mathrm{i} \sqrt{3}}{2} ∴\therefore এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল =1+ω+ω2=1+\omega+\omega^2 =1+12(−1+i3)+12(−1−i3)=1+\frac{1}{2}(-1+i \sqrt{3})+\frac{1}{2}(-1-i \sqrt{3}) =1−12+i32−12−32=1-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} =1−12−12=1−(1+12)=1−22=1−1=0=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-\left(\frac{1+1}{2}\right)=1-\frac{2}{2}=1-1=0 ∴1+ω+ω2=0\therefore 1+\omega+\omega^2=0, ∴\therefore এককের জটিল ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে，f(x)=32x3−48x2+22x−3f(x)=32 x^3-48 x^2+22 x-3 ∴f(x)=0\therefore f(x)=0 হলে, 32x3−48x2+22x−3=0…. (i) 32 x^3-48 x^2+22 x-3=0 \ldots . \text{ (i) } (i) নং সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে ধরি, মূলত্রয় α−β,α,α+β\alpha-\beta, \alpha, \alpha+\beta মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই, α−β+α+α+β=−−4832=4832\alpha-\beta+\alpha+\alpha+\beta=-\frac{-48}{32}=\frac{48}{32} বা， 3α=32∴α=123 \alpha=\frac{3}{2} \quad \therefore \alpha=\frac{1}{2} আবার，(α−β)⋅α⋅(α+β)=−−332=332(\alpha-\beta) \cdot \alpha \cdot(\alpha+\beta)=-\frac{-3}{32}=\frac{3}{32} বা，α(α2−β2)=332\alpha\left(\alpha^2-\beta^2\right)=\frac{3}{32} বা，12{(12)2−β2}=332\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\beta^2\right\}=\frac{3}{32} বা, 12{(12)2−β2}=332\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\beta^2\right\}=\frac{3}{32} বা, 14−β2=632\frac{1}{4}-\beta^2=\frac{6}{32} বা, 14−632=β2\frac{1}{4}-\frac{6}{32}=\beta^2 বা, 8−632=β2\frac{8-6}{32}=\beta^2 বা, β2=232=116\beta^2=\frac{2}{32}=\frac{1}{16} ∴β=±14\therefore \beta= \pm \frac{1}{4} α=12,β=14\alpha=\frac{1}{2}, \beta=\frac{1}{4} হলে, α−β,α,α+β\alpha-\beta, \alpha, \alpha+\beta =12−14,12,12+14=2−14,12,2+14=14,12,34=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{2+1}{4}=\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4} আবার, α=12\alpha=\frac{1}{2} এবং β=−14\beta=-\frac{1}{4} হলে, α−β,α,α+β=12+14,12,12−14=34,12,14\alpha-\beta, \alpha, \alpha+\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} নির্ণেয় সমাধান =(12,14,34). =\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right) \text{. }

উত্তর

(1+x+x2)n=a0+a4x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+……..+a2nx2n\left(1+x+x^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{4} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}+a_{6} x^{6} +\ldots \ldots . .+a_{2 n} x^{2 n} …….(1)\ldots\ldots.(1) এখন, (1)নং এ x=1x=1 বসিয়ে পাই, (1+1+12)n=a0+a1+a2+a3+a4+a6+…..+a2n\left(1+1+1^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{6}+\ldots . .+a_{2 n} বা, 3n=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+3^{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+.
…….(2)(1)\ldots\ldots. (2) (1)
নং এ x=ωx=\omega বসিয়ে পাই, (1+ω+ω2)n=a0+a1(ω)+a2ω)2+a3ω)3+a4(ω4+a5(ω5+a6(ω6+…….+a2n(ω2n\left.\left.\left(1+\omega+\omega^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(\omega)+a_{2} \omega\right)^{2}+a_{3} \omega\right)^{3}+a_{4}\left(\omega^{4}+a_{5}\left(\omega^{5}+a_{6}\left(\omega^{6}+\ldots \ldots .+a_{2 n}\left(\omega^{2 n}\right.\right.\right.\right. বা, 0=a0+a1ω+a2ω2+a3+a4ω+a5ω2+a6+0=a_{0}+a_{1} \omega+a_{2} \omega^{2}+a_{3}+a_{4} \omega+a_{5} \omega^{2}+a_{6}+ …..(3)\ldots.. (3) [∵1+ω+ω2=0;ω3=1]\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0 ; \omega^{3}=1\right] আবার, (1)নং এ x=ω2x=\omega^{2} বসিয়ে পাই, (1+ω2+ω4)n=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+a4ω8+a5ω10+a6ω12+……….+a2nω4n\begin{aligned}\left(1+\omega^2+\omega^4\right)^n=a_0+a_1 \omega^2+a_2 \omega^4 & +a_3 \omega^6+a_4 \omega^8+a_5 \omega^{10} +a_6 \omega^{12}+\ldots \ldots \ldots .+a_{2 n} \omega^{4 n}\end{aligned} বা, 0=a0+a1ω2+a2ω+a3+a4ω2+a5ω+a6+0=a_{0}+a_{1} \omega^{2}+a_{2} \omega+a_{3}+a_{4} \omega^{2}+a_{5} \omega+a_{6}+ …….(4)\ldots\ldots. (4) এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 3n=3a0+a1(1+ω+ω2)+a2(1+ω2+ω)+3a3+a4(1+ω+ω2)+a5(1+ω2+ω)+3a6+…...3^{n}=3 a_{0}+ a_{1}\left(1+\omega+\omega^{2}\right)+a_{2}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 a_{3} +a_{4}\left(1+\omega+\omega^{2}\right)+a_{5}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 a_{6}+ \ldots... বা, 3n=3a0+a1⋅0+a2⋅0+3a3+a4⋅0+a5⋅0+3a6+…..[∵1+ω+ω2=0]3^{n}=3 a_{0}+a_{1} \cdot 0+a_{2} \cdot 0+3 a_{3}+a_{4} \cdot 0+a_{5} \cdot 0+3 a_{6}+\ldots . . \quad\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] বা, 3n=3(a0+a3+a6+…….)3^{n}=3\left(a_{0}+a_{3}+a_{6}+\ldots \ldots.\right) বা, 3n3=a0+a3+a6+\frac{3^{n}}{3}=a_{0}+a_{3}+a_{6}+ বা, 3n−1=a0+a3+a6+3^{n-1}=a_{0}+a_{3}+a_{6}+ ∴a0+a3+a6+……..=3n−1\therefore a_{0}+a_{3}+a_{6}+\ldots \ldots . .=3^{n-1}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণবরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন