Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নং সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] হবে।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] নং এর একটি মূল [গণিত] ; যা অমূলদ। [গণিত] অপর মূলটি হবে [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এবং [গণিত] মূলবিশিন্ট সমীকরণ হবে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] সমীকরণের মূলদ্ধয় [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

নং সমীকরণের একটি মূল হলে, প্রমাণ কর যে, সমীকরণের মূলদ্বয় হবে।

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0……(i)\ldots\ldots(i) cx2+bx+1=0c x^2+b x+1=0 ……(ii)\ldots\ldots(ii)

Barisal · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, x2−kx+k+3=0x^2-k x+k+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল। সমীকরণটির নিশ্চায়ক =(−k)2−4⋅1(k+3)=(-k)^2-4 \cdot 1(k+3) যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল সেহেতু নিশ্চায়ক <0< 0 বা, (k−6)(k+2)<0(k-6)(k+2)<0 অসমতাটি সত্য হবে যদি (k−6)(k-6) ও (k−2)(k-2) এর যেকোনো একটি ধনাত্মক এবং অপরটি ঋণাত্মক হয়। অসমতটি সত্য হবে যদি −2<k<6-2<k<6 হয়। নির্ণেয় মান : −2<k<6-2<k<6.

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+bx+c=0\mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 …..(1)\ldots..(1) (1)(1) নং এর একটি মূল α+β\alpha+\sqrt{\beta}; যা অমূলদ। ∴\therefore অপর মূলটি হবে α−β\alpha-\sqrt{\beta} ∴α+β+α−β=−b1\therefore \alpha+\sqrt{\beta}+\alpha-\sqrt{\beta}=-\frac{b}{1} বা, 2α=−b2 \alpha=-b ∴α=−b2\therefore \alpha=-\frac{\mathrm{b}}{2} এবং (α+β)(α−β)=c1(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta})=\frac{c}{1} বা, α2−(β)2=c\alpha^2-(\sqrt{\beta})^2=c বা, α2−β=c\alpha^2-\beta=c আবার, 1α+1β\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{\beta}} এবং 1α−1β\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\sqrt{\beta}} মূলবিশিন্ট সমীকরণ হবে
x2−(1α+1β+1α−1β)x+(1α+1β)(1α−1β)=0x^2-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}+\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\sqrt{\beta}}\right) x+\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}\right)\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\sqrt{\beta}}\right)=0
বা, x2−(2α)x+(1α2−1β)=0x^2-\left(\frac{2}{\alpha}\right) x+\left(\frac{1}{\alpha^2}-\frac{1}{\beta}\right)=0 বা, x2−2xα+β−α2α2β=0\quad x^2-\frac{2 x}{\alpha}+\frac{\beta-\alpha^2}{\alpha^2 \beta}=0 বা, x2−2xα+−(α2−β)α2β=0x^2-\frac{2 x}{\alpha}+\frac{-\left(\alpha^2-\beta\right)}{\alpha^2 \beta}=0 বা, x2−2x−b2+−c(−b2)2(α2−c)[∵α=−b2x^2-\frac{2 x}{-\frac{b}{2}}+\frac{-c}{\left(-\frac{b}{2}\right)^2\left(\alpha^2-c\right)}\left[\because \alpha=-\frac{b}{2}\right. এবং α2−β=c]\left.\alpha^2-\beta=c\right] বা, x2+4xb+cb24{(−b2)2−c}x^2+\frac{4 x}{b}+\frac{c}{\frac{b^2}{4}\left\{\left(-\frac{b}{2}\right)^2-c\right\}} বা, x2+4xb−cb24(b24−c)=0x^2+\frac{4 x}{b}-\frac{c}{\frac{b^2}{4}\left(\frac{b^2}{4}-c\right)}=0 বা, x2+4xb−cb216(b2−4c)x^2+\frac{4 x}{b}-\frac{c}{\frac{b^2}{16}\left(b^2-4 c\right)} বা, x2+4xb−16cb2(b2−4c)=0x^2+\frac{4 x}{b}-\frac{16 c}{b^2\left(b^2-4 c\right)}=0 বা, b2(b2−4c)x2+4b(b2−4c)x−16c=0b^2\left(b^2-4 c\right) x^2+4 b\left(b^2-4 c\right) x-16 c=0 বা, (b2−4c)b2x2+4bx−16c=0\left(b^2-4 c\right) b^2 x^2+4 b x-16 c=0 ∴(b2−4c)(b2x2+4bx)−16c=0\therefore\left(b^2-4 c\right)\left(b^2 x^2+4 b x\right)-16 c=0 সমীকরণের মূলদ্ধয় 1α±1β\frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+bx+c=0\mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0……(1)\ldots\ldots(1) এবং cx2+bx+1=0\mathrm{cx}^2+\mathrm{bx}+1=0.……(2)\ldots\ldots(2) (1)(1) ও (2)(2) নং এর একটি সাধারণ মূল α\alpha হলে- α2+bα+1=0\alpha^2+b \alpha+1=0 এবং cα2+bα+1=0c \alpha^2+b \alpha+1=0 বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, α2b−bc=αc2−1=1b−bc\frac{\alpha^2}{b-b c}=\frac{\alpha}{c^2-1}=\frac{1}{b-b c} এখন, α2b−bc=αc2−1\frac{\alpha^2}{b-b c}=\frac{\alpha}{c^2-1} বা, \frac{\alpha^2}{-b(c-1)}=\frac{\alpha}{(c+1}(c-1)} ∴α=−bc+1\therefore \alpha=\frac{-b}{c+1} আবার, ac2−1=1b−bc\frac{a}{c^2-1}=\frac{1}{b-b c} বা, \frac{-b}{c+1} \cdot \frac{1}{(c+1}(c-1)}=\frac{1}{-b(c-1)} বা, \frac{b}{(c+1}^2}=\frac{1}{b} ∴(c+1)2=b2\therefore(\mathrm{c}+1)^2=\mathrm{b}^2. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন