Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

১ম ও ২য় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, P + q + 1 = 0

উত্তর: ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল [গণিত] কাজেই [গণিত] দ্বারা সমীকরণের সিদ্ধ হবে। [গণিত] এবং [গণিত] (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে বজ্রগুণন করে পাই, [গণিত] ১ম ও ২য় সম্পর্ক হতে পাই, এবং হয় ও ৩য় সম্পর্ক হতে পাই, [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] (দেখানো হল)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

১ম ও ২য় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, P + q + 1 = 0

উদ্দীপক

px2+qx+1=0p x^2+q x+1=0 ও qx2+px+1=0q x^2+p x+1=0 দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং x3+ax2+bx+c=0x^3+a x^2+b x+c=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma

সরকারি বজ্রমোহন কলেজ, বরিশাল · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল =−5−1=\sqrt{-5}-1 ∴\therefore দ্বিঘাত সমীকরণের অপর একটি মূল =−−5−1=-\sqrt{-5}-1 ∴\therefore দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : x2−(−5−1−−5−1)x+(−5−1)×−−5−1)=0x^{2}-(\sqrt{-5}-1-\sqrt{-5}-1) x+(\sqrt{-5}-1) \times -\sqrt{-5}-1)=0 ⇒x2−(−2)x+{(−1)2−(−5)2}=0\Rightarrow x^{2}-(-2) x+\left\{(-1)^{2}-(\sqrt{-5})^{2}\right\}=0 ⇒x2+2x+{1−(−5)}=0\Rightarrow x^{2}+2 x+\{1-(-5)\}=0 ⇒x2+2x+6=0\Rightarrow x^{2}+2 x+6=0

উত্তর

ধরি, px2+qx+1=0p x^2+q x+1=0 এবং qx2+px+1=0q x^2+p x+1=0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল α\alpha কাজেই α\alpha দ্বারা সমীকরণের সিদ্ধ হবে। ∴pα2+qα+1=0….(1)\therefore p \alpha^{2}+q \alpha+1 =0 \ldots. (1) এবং qα2+pα+1=0….(11)q \alpha^{2}+p \alpha+1 =0 \ldots. (11) (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে বজ্রগুণন করে পাই, α2q−p=αp−q=1p2−q2\frac{\alpha^{2}}{q-p}=\frac{\alpha}{p-q}=\frac{1}{p^{2}-q^{2}} \Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{-(p-2)}=\frac{\alpha}{p-q}=\frac{1}{(p+q}(p-q)} ⇒α2−1=α1=1p+2[∵p≠2]\Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{-1}=\frac{\alpha}{1}=\frac{1}{p+2}[\because p \neq 2] ১ম ও ২য় সম্পর্ক হতে পাই, এবং হয় ও ৩য় সম্পর্ক হতে পাই, α2−1=α1α1=1p+2⇒α2α=−1⇒x=p+2⇒α=−1\begin{array}{rlrl}\frac{\alpha^2}{-1}=\frac{\alpha}{1} & & \frac{\alpha}{1}=\frac{1}{p+2} \\ \Rightarrow \frac{\alpha^2}{\alpha}=-1 & \Rightarrow x=p+2 \\ \Rightarrow \alpha=-1 & & \end{array} শর্তমতে, p+q=−1p+q =-1 ∴p+q+1=0\therefore p+q+1 =0 (দেখানো হল)

উত্তর

দেওয়া আছে, x3+ax2+bx+c=0….(1)x^{3}+a x^{2}+b x+c=0 \ldots. (1) (i) নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় α,B,γ\alpha, B, \gamma হলে, α+β+γ=−a…..(ii)\alpha+\beta+\gamma=-a \ldots.. (ii) αβ+βγ+γα=b….(iii)\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=b \ldots. (iii) αβγ=−c….(iv)\alpha \beta \gamma=-c \ldots. (iv) ∑α3=α3+β3+γ3\sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} =α3+β3+γ3−3αβγ+3αβγ=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma+3 \alpha \beta \gamma =(α+β+γ)(α2+β2+γ2−αβ+Bγ+γα)+3αβγ=(\alpha+\beta+\gamma)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha\right) +3 \alpha \beta \gamma =(α+β+γ)}(α+β+γ)2−2(αβ+Bγ+γα)−(αB+Bγ+γα)}+3αBγ=(\alpha+\beta+\gamma)\}(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha) -(\alpha B+B \gamma+\gamma \alpha)\}+3 \alpha B \gamma =(α+β+γ){(α+β+γ)2−3(αβ+βγ+γα)}+3αβγ=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma =(−a){(−a)2−3⋅b}+3(−c)=(-a)\left\{(-a)^{2}-3 \cdot b\right\}+3(-c) [(ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং হতে] =−a(a2−3b)−3c=-a\left(a^{2}-3 b\right)-3 c =−a3+3ab−3c=-a^{3}+3 a b-3 c =3ab−a3−3c=3 a b-a^{3}-3 c
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণসরকারি বজ্রমোহন কলেজ, বরিশাল
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন