Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হলে প্রমাণ কর যে, a = b = c

উত্তর: প্রদত্ত রাশি, [গণিত] প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ। [গণিত] [2 দ্বারা ভাগ] [গণিত] বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে হলে তাদের আলাদা আলাদা শূন্য হতে হবে। [গণিত] এবং [গণিত] আবার, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হলে প্রমাণ কর যে, a = b = c

উদ্দীপক

(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) একটি বীজগণিতীক রাশি এবং (k2−3)x2+3kx+(3k+1)=0\left(k^2-3\right) x^2+3 k x+(3 k+1)=0 একটি বীজগণিতীক সমীকরণ।

সরকারি বজ্রমোহন কলেজ, বরিশাল · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, (k2−3)x2+3kx+(3k+1)=0….(1)\left(k^{2}-3\right) x^{2}+3 k x+(3 k+1)=0 \ldots. (1) (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর গৌণিক। ∴k2−3=3k+1\therefore k^{2}-3=3 k+1 ⇒k2−3−3k−1=0\Rightarrow k^{2}-3-3 k-1=0 ⇒k2−3k−4=0\Rightarrow k^{2}-3 k-4=0 ⇒k2−4k+k−4=0\Rightarrow k^{2}-4 k+k-4=0 ⇒k(k−4)+1(k−4)=0\Rightarrow k(k-4)+1(k-4)=0 ⇒(k−4)(k+1)=0\Rightarrow(k-4)(k+1)=0 হয়, k+1=0k+1=0 অথবা, k-4=0 k=−1k=−4k =-1 \quad k=-4 ∴k=−1,4\therefore k =-1,4

উত্তর

প্রদত্ত রাশি, (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =x2−ax−bx+ab+x2−bx−cx+bc+x2−cx−ax+ac= x^{2}-a x-b x+a b+x^{2}-b x-c x+b c+x^{2}-c x-a x +a c =3x2−2ax−2bx−2cx+ab+bc+ac= 3 x^{2}-2 a x-2 b x-2 c x+a b+b c+a c =3x2−2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)= 3 x^{2}-2(a+b+c) x+(a b+b c+a c) ∵\because প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ। ∴{−2(a+b+c)}2−4⋅3⋅(ab+bc+ac)=0\therefore\{-2(a+b+c)\}^{2}-4 \cdot 3 \cdot(a b+b c+a c)=0 ⇒4(a+b+c)2−12(ab+bc+ca)=0\Rightarrow 4(a+b+c)^{2}-12(a b+b c+c a)=0 ⇒4(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)−12(ab+bc+ca)\Rightarrow 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a\right)-12(a b+b c+c a) ⇒4a2+4b2+4c2+8ab+8bc+8ca−12ab−12ca−12ca=0\Rightarrow 4 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}+8 a b+8 b c+8 c a-12 a b-12 c a-12 c a =0 ⇒4a2+4b2+4c2−4ab−4bc−4ca=0\Rightarrow 4 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}-4 a b-4 b c-4 c a=0 ⇒2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=0\Rightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a=0 [2 দ্বারা ভাগ] ⇒a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2=0\Rightarrow a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}+c^{2}-2 c a+a^{2}=0 ⇒(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0\Rightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 ∵\because বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে হলে তাদের আলাদা আলাদা শূন্য হতে হবে। ∴(a−b)2=0\therefore(a-b)^{2}=0 \quad এবং (b−c)2=0(b-c)^{2}=0\quad আবার, (c−a)2=0(c-a)^2=0 a−b=0b−c=0(c−a)2=0a-b=0 \quad b-c=0 \quad (c-a)^{2}=0 a=bb=cc−a=0a=b \quad b=c \quad c-a=0 ∴a=b=c\therefore a=b=c (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, (k2−3)x2+3kx+(3k+1)=0\left(k^{2}-3\right) x^{2}+3 k x+(3 k+1)=0 k = 2 হলে, (22−3)x2+3⋅2⋅x+(3⋅2+1)=0\left(2^{2}-3\right) x^{2}+3 \cdot 2 \cdot x+(3 \cdot 2+1)=0 ⇒(4−3)x2+6x+(6+1)=0\Rightarrow (4-3) x^{2}+6 x+(6+1)=0 =x2+6x+7=0…..(i)= x^{2}+6 x+7=0 \ldots.. (i) (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় m ও n ∴m+n=−61\therefore m+n=\frac{-6}{1} \quad এবং m−10m-10 ⇒mn=7...(ii)m=−6...(iii)\Rightarrow m n=7 ... (ii) \quad m=-6 ... (iii) mn2+nm2=m3+n3m2n2\frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}} =\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2} n^{2}} =(m+n)3−3mn(m+n)(mn)2=\frac{(m+n)^{3}-3 m n(m+n)}{(m n)^{2}} =(−6)3−3⋅7⋅(−6)(7)2=\frac{(-6)^{3}-3 \cdot 7 \cdot(-6)}{(7)^{2}} [(ii) নং ও (iii) নং হতে] =−216+12149=\frac{-216+121}{49} ∴mn2+nm2=−9049\therefore \frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}} =\frac{-90}{49} আবার, mn2⋅nm2=1m\frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}} =\frac{1}{m} ∴mn2⋅nm2=17\therefore \frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}} =\frac{1}{7} ∴mn2\therefore \frac{m}{n^{2}} ও nm2\frac{n}{m^{2}} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিম্নরুপ: x2−(mn2+nm2)x+(mn2⋅nm2)=0x^{2}-\left(\frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}}\right) x+\left(\frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}}\right)=0 ⇒x2−(−9049)x+(17)=0\Rightarrow x^{2}-\left(\frac{-90}{49}\right) x+\left(\frac{1}{7}\right)=0 ⇒x2+90x49+17=0\Rightarrow x^{2}+\frac{90 x}{49}+\frac{1}{7}=0 ⇒49x2+90x+7=0\Rightarrow 49 x^{2}+90 x+7=0 (Ans)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণসরকারি বজ্রমোহন কলেজ, বরিশাল
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হলে প্রমাণ কর যে, a = b = c | Prosthuti