Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] না হলে, [গণিত] সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণ : [গণিত] পৃথায়ক, [গণিত] মূলদ্বয় বাস্তব হবে, [গণিত] হলে। [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, না হলে, সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না।

উদ্দীপক

q(x)=lx2+mx+n\mathrm{q}(\mathrm{x})=\mathrm{lx}^{2}+\mathrm{mx}+\mathrm{n} r(x)=nx2+mx+1\mathrm{r}(\mathrm{x})=\mathrm{nx}^{2}+\mathrm{mx}+1 zˉ=x+iy\bar{z}=x+i y

Rajshahi · 2023

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ : 2x2−2(p+q)x+(p2+q2)=02 x^{2}-2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0 ∴\therefore পৃথায়ক, D={−2(p+q)}2−4⋅2⋅(γ2+q2)\mathrm{D}=\{-2(\mathrm{p}+\mathrm{q})\}^{2}-4 \cdot 2 \cdot\left(\gamma^{2}+\mathrm{q}^{2}\right) =4(p2+2pq+q2)−8(p2+q2)=4\left(p^{2}+2 p q+q^{2}\right)-8\left(p^{2}+q^{2}\right) =4(p2+2pq+q2−2p2−2q2)=4\left(p^{2}+2 p q+q^{2}-2 p^{2}-2 q^{2}\right) =4(−p2+2pq−q2)=4\left(-\mathrm{p}^{2}+2 \mathrm{pq}-\mathrm{q}^{2}\right) =−4(p2−2pq+q2)=-4\left(p^{2}-2 p q+q^{2}\right) =−4(p−q)2=-4(p-q)^{2} মূলদ্বয় বাস্তব হবে, D=0D=0 হলে। ⇒−4(p−q)2=0\Rightarrow-4(p-q)^{2}=0 ∴p=q(\therefore p=q( (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, zˉ=x+iy\bar{z}=x+i y ∴z=x−iy\therefore z=x-i y ∴∣z+3∣+∣z−3∣=10\therefore|z+3|+|z-3|=10 ⇒∣x−iy+3∣+∣x+iy−3∣=10\Rightarrow|x-i y+3|+|x+i y-3|=10 ⇒∣(x+3)−iy∣+∣(x−3)+iy∣=10\Rightarrow|(x+3)-i y|+|(x-3)+i y|=10 ⇒(x+3)2+y2+(x−3)2+y2=10\Rightarrow \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10 ⇒(x−3)2+y2=10−(x+3)2+y2\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} ⇒(x−3)2+y2=102−2(x+3)2+y2×10+(x+3)2+y2\Rightarrow(x-3)^{2}+y^{2}=10^{2}-2 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} \times 10+(x+3)^{2}+y^{2} ⇒20(x+3)2+y2=(x+3)2−(x−3)2+100\Rightarrow 20 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=(x+3)^{2}-(x-3)^{2}+100 ⇒20(x+3)2+y2=4⋅x⋅3+100\Rightarrow 20 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4 \cdot x \cdot 3+100 ⇒5(x+3)2+y2=(3x+25)\Rightarrow 5 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=(3 x+25) ⇒25{(x2+6x+9)+y2}=9x2+150x+625\Rightarrow 25\left\{\left(x^{2}+6 x+9\right)+y^{2}\right\}=9 x^{2}+150 x+625 ⇒16x2+25y2+150x+225=150x+625\Rightarrow 16 x^{2}+25 y^{2}+150 x+225=150 x+625 ⇒16x2+25y2=400\Rightarrow 16 x^{2}+25 y^{2}=400 ⇒x225+y216=1\Rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1 x252+y242=1\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=1 নির্দেশিত সঞ্চারপথটি হলো উপবৃত্ত, যার শীর্ষবিন্দু (±a,0)=(±5,0)( \pm a, 0)=( \pm 5,0)

উত্তর

দেওয়া আছে, r(x)=0r(x)=0 ⇒nx2+mx+l=0…...(i)\Rightarrow n x^{2}+m x+l=0 \ldots... (i) এবং q(x)=0q(x)=0 ⇒lx2+mx+n=0…..(ii)\Rightarrow l x^{2}+m x+n=0 \ldots.. (ii) (i) নং সমীকরণের একটি মূল 2α2 \alpha হলে, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha ∴\therefore (i) নং হতে পাই, n(2⋅)2+m⋅2α+l=0n(2 \cdot)^{2}+m \cdot 2 \alpha+l=0 ⇒4nα2+2mα+l=0…..(iii)\Rightarrow 4 n \alpha^{2}+2 m \alpha+l=0 \ldots.. (iii) ∴\therefore (ii) নং হতে পাই, lα2+mα+n=0…l \alpha^{2}+m \alpha+n=0 \ldots (iv) (iii) ও (iv) হতে বজ্রগুণন করে পাই, \left.\frac{\alpha^{2}}{2 m n-m l}=\frac{\alpha}{l^{2}-4 n^{2}}=\frac{1}{4 m n-2 m l} 4 n\right] \[\begin{array}{cccc} 2 m & l & 4 n & 2 m \m & n & l & m \end{array}\] ⇒α2m(2n−l)=α−(4n2−l2)=12m(2n−l)\Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{m(2 n-l)}=\frac{\alpha}{-\left(4 n^{2}-l^{2}\right)}=\frac{1}{2 m(2 n-l)} ∴(4n2−l2)2=2m2(2n−l)2\therefore \left(4 n^{2}-l^{2}\right)^{2}=2 m^{2}(2 n-l)^{2} ⇒(2n−l)2(2n+l)2=2m2(2n−l)2=0\Rightarrow(2 n-l)^{2}(2 n+l)^{2}=2 m^{2}(2 n-l)^{2}=0 ⇒(2m−l)2{(2m+l)2−2m2}=0\Rightarrow(2 m-l)^{2}\left\{(2 m+l)^{2}-2 m^{2}\right\}=0 হয়, (2n−l)2=0(2 n-l)^{2}=0 ⇒2n−l=0\Rightarrow 2 n-l=0 ∴l=2n\therefore l=2 n অথবা, (2n+l)2−2n2=0(2 n+l)^{2}-2 n^{2}=0 ⇒2m2=(l+2n)2\Rightarrow 2 m^{2}=(l+2 n)^{2} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণRajshahi
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন