Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুইটির একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক-১ হতে, [গণিত] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল [গণিত] হলে (i) নং হতে, [গণিত] (iii) - (iv) [গণিত] এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুইটির একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: 2mx2+nx+1=02 m x^{2}+n x+1=0 এবং nx2+2mx+1=0n x^{2}+2 m x+1=0 উদ্দীপক-২: x3+px2+qx+r=0\mathrm{x}^{3}+\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0

Dhaka · 2023

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ : x3+(p2−3)x−(p+2)=0x^{3}+\left(p^{2}-3\right) x-(p+2)=0 সমীকরণের একটি মূল −1+-1+ iP হলে অপর জটিল মূল হবে -1-ip । ধরি, সমীকরণটির অপর মূল α\alpha ∴−1+ip−1−ip+α=0\therefore-1+i p-1-i p+\alpha=0 ⇒α=2\Rightarrow \alpha=2 ∴\therefore থ্রদত্ত সমীকরণের মূলত্রয় −1+iP,−1-1+\mathrm{iP},-1-iP 2

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে, 2mx2+nx+1=0……(i)2 m x^{2}+n x+1=0 \ldots\ldots (i) nx2+2mx+1=0……...(ii)n x^{2}+2 m x+1=0 \ldots\ldots... (ii) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল α\alpha হলে (i) নং হতে, 2mα2+nα+1=0……...(iii)2 m \alpha^{2}+n \alpha+1=0 \ldots\ldots... (iii) nα2+2mα+1=0……..(iv)n \alpha^{2}+2 m \alpha+1=0 \ldots\ldots.. (iv) (iii) - (iv) (2m−n)α2+(n−2m)α=0(2 m-n) \alpha^{2}+(n-2 m) \alpha=0 ⇒(2m−n)α2=(2m−n)α\Rightarrow(2 m-n) \alpha^{2}=(2 m-n) \alpha ⇒α=1\Rightarrow \alpha=1 α\alpha এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, 2m+n+1=02 m+n+1=0 (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, x3+px2+qx+r=0\mathrm{x}^{3}+\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, α+β+γ=−p\alpha+\beta+\gamma=-p αβ+βγ+γα=q\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q ∴αβγ=−γ\therefore \alpha \beta \gamma=-\gamma ∴(α−β)2=(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2\therefore(\alpha-\beta)^{2}=(\alpha-\beta)^{2}+(\beta-\gamma)^{2}+(\gamma-\alpha)^{2} =α2−2αβ+β2+β2−2αβ+γ2+γ2−2γα+α2=\alpha^{2}-2 \alpha \beta+\beta^{2}+\beta^{2}-2 \alpha \beta+\gamma^{2}+\gamma^{2}-2 \gamma \alpha+\alpha^{2} =2(α2+β2+γ2)−2(αβ+βγ+γα)=2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\right)-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) =2{(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)}−2(αβ+βγ+γα)=2\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) =2(p2−2q)−2q=2\left(p^{2}-2 q\right)-2 q =2(p2−2q−q)=2\left(p^{2}-2 q-q\right) =2(p2−3q)=2\left(p^{2}-3 q\right)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন