Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

উত্তর: প্রদত্ত জটিল সংখ্যা [গণিত] ধরি, [গণিত] ... (i) [গণিত] ... (ii) (i)নং ও (ii)নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, (ii)নং কে (i)নং দ্বারা ভাগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এর পোলার আকার [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : q = 729 দৃশ্যকল্প-২: ax3+3bx2+3cx+d=0\mathrm{ax}^{3}+3 \mathrm{bx}^{2}+3 \mathrm{cx}+\mathrm{d}=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma.

Comilla · 2023

উত্তর

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা =3+4i=3+4 \mathrm{i} ধরি, rcos⁡θ=3r \cos \theta=3 ……...(i)\ldots\ldots... (i) rsin⁡θ=4r \sin \theta=4
……...(ii)(i)\ldots\ldots... (ii) (i)
নং ও (ii)নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=32+42r^{2} \cos^{2} \theta+r^{2} \sin^{2} \theta=3^{2}+4^{2} বা, r2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=9+16r^{2}\left(\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta\right)=9+16 বা, r2=25r^{2}=25 ∴r=5\therefore \quad r=5 আবার, (ii)নং কে (i)নং দ্বারা ভাগ করে পাই, rsin⁡θrcos⁡θ=43\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=\frac{4}{3} বা, tan⁡θ=43\tan \theta=\frac{4}{3} ∴θ=tan⁡−143\therefore \quad \theta=\tan^{-1} \frac{4}{3} ∴3+4i\therefore \quad 3+4 i এর পোলার আকার =r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r(\cos \theta+i \sin \theta) =5(cos⁡tan⁡−143+isin⁡tan⁡−143)=5\left(\cos \tan^{-1} \frac{4}{3}+i \sin \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)

উত্তর

ax3+3bx2+3cx+d=0\mathrm{ax}^{3}+3 \mathrm{bx}^{2}+3 \mathrm{cx}+\mathrm{d}=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma ∴α+β+γ=−3ba\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{3 b}{a} αβ+βγ+γα=3ca\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{3 c}{a} এবং αβγ=−da\alpha \beta \gamma=\frac{-d}{a} এখন, Σ(α−β)2=(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2\Sigma(\alpha-\beta)^{2}=(\alpha-\beta)^{2}+(\beta-\gamma)^{2}+(\gamma-\alpha)^{2} =(α2−2αβ+β2)+(β2−2βγ+γ2)+(γ2−2γα+α2)=\left(\alpha^{2}-2 \alpha \beta+\beta^{2}\right)+\left(\beta^{2}-2 \beta \gamma+\gamma^{2}\right)+\left(\gamma^{2}-2 \gamma \alpha+\alpha^{2}\right) =2(α2+β2+γ2)−2(αβ+βγ+γα)=2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}\right)-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) =2{(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)}−2(αβ+βγ+γα)=2\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) [∵(a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)]{[\because} \left.(a+b+c)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+2(a b+b c+c a)\right] =2(α+β+γ)2−4(αβ+βγ+γα)−2(αβ+βγ+γα)=2(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-4(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) =2(α+β+γ)2−6(αβ+βγ+γα)=2(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-6(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) =2(−3ba)2−6×3ca=2\left(-\frac{3 b}{a}\right)^{2}-6 \times \frac{3 c}{a} =2×9b2a2−18ca=2 \times \frac{9 b^{2}}{a^{2}}-\frac{18 c}{a} =18b2a2−18ca=18b2−18aca2=18(b2−ac)a2=\frac{18 b^{2}}{a^{2}}-\frac{18 c}{a}=\frac{18 b^{2}-18 a c}{a^{2}}=\frac{18\left(b^{2}-a c\right)}{a^{2}} ∴Σ(α−β)2=18(b2−ac)a2⋅\therefore \quad \Sigma(\alpha-\beta)^{2}=\frac{18\left(b^{2}-a c\right)}{a^{2}} \cdot (দেখানা হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, q=729q=729 ∴−q6=−7296\therefore \sqrt[6]{-q}=\sqrt[6]{-729} ধরি, x=−7296x=\sqrt[6]{-729} বা, x6=−729x^{6}=-729 বা, x6=729i2[∵i2=−1]x^{6}=729 i^{2} \quad\left[\because i^{2}=-1\right] বা, (x3)2=(27i)2\left(x^{3}\right)^{2}=(27 i)^{2} বা, x3=±27ix^{3}= \pm 27 i ধনাত্মক মান নিয়ে পাই, x3=27ix^{3}=27 i বা, x3−27i=0x^{3}-27 i=0 বা, x3+(3i)3=0x^{3}+(3 i)^{3}=0 বা, (x+3i){x2−x⋅3i+(3i)2}=0(x+3 i)\left\{x^{2}-x \cdot 3 i+(3 i)^{2}\right\}=0 বা, (x+3i)(x2−3xi+9i2)=0(x+3 i)\left(x^{2}-3 x i+9 i^{2}\right)=0 বা, (x+3i)(x2−3xi−9)=0(x+3 i)\left(x^{2}-3 x i-9\right)=0 হয়, x+3i=0x+3 i=0 ∴x=−3i\therefore \quad \mathrm{x}=-3 \mathrm{i} অথবা, x2−3xi−9=0x^{2}-3 x i-9=0 ∴x=−(−3i)±(−3i)2−4.1(−9)2.1\therefore \mathrm{x}= \frac{-(-3 i) \pm \sqrt{(-3 i)^{2}-4.1(-9)}}{2.1} =3i±9i2+362=\frac{3 \mathrm{i} \pm \sqrt{9 \mathrm{i}^{2}+36}}{2} =3i±−9+362=\frac{3 \mathrm{i} \pm \sqrt{-9+36}}{2} =3i±272=\frac{3 i \pm \sqrt{27}}{2} =3i±332=\frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2} এবং ঋণাত্মক মান নিয়ে পাই, x3=−27ix^{3}=-27 i বা, x3+27i=0x^{3}+27 i=0 বা, x3−(3i)3=0x^{3}-(3 i)^{3}=0 বা, (x−3i){x2+x⋅3i+(3i)2}=0(x-3 i)\left\{x^{2}+x \cdot 3 i+(3 i)^{2}\right\}=0 বা, (x−3i)(x2+3xi+9i2)=0(x-3 i)\left(x^{2}+3 x i+9 i^{2}\right)=0 বা, (x−3i)(x2+3xi−9)=0(x-3 i)\left(x^{2}+3 x i-9\right)=0 ∴x−3i=0\therefore \quad x-3 i=0 অথবা, x2+3xi−9=0x^{2}+3 x i-9=0 বা, x=3ix=3 i বা, x=−3i±(3i)2−4⋅1⋅(−9)2⋅1x=\frac{-3 i \pm \sqrt{(3 i)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-9)}}{2 \cdot 1} =−3i±−9+362=\frac{-3 i \pm \sqrt{-9+36}}{2} =−3i±272=−3i±332=\frac{-3 i \pm \sqrt{27}}{2}=\frac{-3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2} নির্ণেয় মান : ±3i,3i±332,−3i±332\pm 3 i, \frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}, \frac{-3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন