Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর একটি মূল [গণিত] এর একটি মূলের দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ধরি, [গণিত] এর একটি মূল [গণিত] . (i) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] এর একটি মূল [গণিত] (ii) (i) ও (ii) হতে বজ্ৰগুণনের সূত্রানুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] সুতরাং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] অতএব, [গণিত] অথবা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

এর একটি মূল এর একটি মূলের দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, অথবা,

উদ্দীপক

f(x)=x3−2x2+3x−4f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x-4 এবং g(x)=ax2+bx+cg(x)=a x^{2}+b x+c

নটরডেম কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, (k−2)x2−(8−2k)x−(8−2k)=0(k-2) x^{2}-(8-2 k) x-(8-2 k)=0 মূলদ্বয় বাস্তব হলে, নিশ্চায়ক ≥0\geq 0 বা, b2−4ac≥0b^{2}-4 a c \geq 0 বা, {(−(8−2k)}2+4⋅(k−2)(8−2k)≥0\left\{(-(8-2 k)\}^{2}+4 \cdot(k-2)(8-2 k) \geq 0\right. বা, (8−2k)2+(4k−8)(8−2k)≥0(8-2 k)^{2}+(4 k-8)(8-2 k) \geq 0 বা, (8−2k)(8−2k+4k−8)≥0(8-2 k)(8-2 k+4 k-8) \geq 0 বা, (8−2k)⋅2k≥0(8-2 \mathrm{k}) \cdot 2 \mathrm{k} \geq 0 বা, 2(4−k)⋅2k≥02(4-k) \cdot 2 k \geq 0 ∴(4−k)k≥0\therefore \quad(4-k) \mathrm{k} \geq 0 অসমতাটি সত্য হবে যদি (4−k)(4-\mathrm{k}) ও k\mathrm{k} উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হয়। question image ∴0≤k≤4\therefore \quad 0 \leq k \leq 4 এর জন্য সমীকরণটির মান বাস্তব হবে।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=ax2+bx+cg(x)=a x^{2}+b x+c ∴g(1x)=a(1x)2+b(1x)+c=a⋅1x2+b⋅1x+c\therefore g\left(\frac{1}{x}\right)=a\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+b\left(\frac{1}{x}\right)+c=a \cdot \frac{1}{x^{2}}+b \cdot \frac{1}{x}+c এবং g(1x)=0g\left(\frac{1}{x}\right)=0 বা, a⋅1x2+b⋅1x+c=0a \cdot \frac{1}{x^{2}}+b \cdot \frac{1}{x}+c=0 বা, a+bx+cx2=0a+b x+c x^{2}=0 ∴cx2+bx+c=0\therefore \quad c x^{2}+b x+c=0 ধরি, cx2+bx+a=0\mathrm{cx}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{a}=0 এর একটি মূল α\alpha ∴cα2+bα+a=0\therefore \quad c \alpha^{2}+\mathrm{b} \alpha+\mathrm{a}=0 ….(i)\ldots. (i) আবার, g(x)=0g(x)=0 বা, ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 এর একটি মূল 2α2 \alpha ∴4aα2+2 bα+c=0\therefore \quad 4 \mathrm{a} \alpha^{2}+2 \mathrm{~b} \alpha+\mathrm{c}=0
…(ii)(i)\ldots (ii) (i)
ও (ii) হতে বজ্ৰগুণনের সূত্রানুসারে, α2bc−2ab=α4a2−c2=12bc−4ab\frac{\alpha^{2}}{b c-2 a b}=\frac{\alpha}{4 a^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2 b c-4 a b} α2bc−2ab=α4a2−c2\frac{\alpha^{2}}{b c-2 a b}=\frac{\alpha}{4 a^{2}-c^{2}} বা, αb(c−2a)=14a2−c2\frac{\alpha}{b(c-2 a)}=\frac{1}{4 a^{2}-c^{2}} ∴α=b(c−2a)4a2−c2\therefore \quad \alpha=\frac{b(c-2 a)}{4 a^{2}-c^{2}} আবার, α4a2−c2=12bc−4ab\frac{\alpha}{4 a^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2 b c-4 a b} ∴α=4a2−c22 b(c−2a)\therefore \quad \alpha=\frac{4 \mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{2 \mathrm{~b}(\mathrm{c}-2 \mathrm{a})} সুতরাং b(c−2a)4a2−c2=4a2−c22b(c−2a)\frac{b(c-2 a)}{4 a^{2}-c^{2}}=\frac{4 a^{2}-c^{2}}{2 b(c-2 a)} বা, (4a2−c2)2=2b2(c−2a)2\left(4 a^{2}-c^{2}\right)^{2}=2 b^{2}(c-2 a)^{2} বা, (2a+c)2(2a−c)2−2b2(2a−c)2=0(2 a+c)^{2}(2 a-c)^{2}-2 b^{2}(2 a-c)^{2}=0 বা, (2a−c)2{(2a+c)2−2b2}=0(2 a-c)^{2}\left\{(2 a+c)^{2}-2 b^{2}\right\}=0 হয়, (2a−c)2=0(2 a-c)^{2}=0 বা, 2a−c=02 a-c=0 অথবা, (2a+c)2−2b2=0(2 a+c)^{2}-2 b^{2}=0 ∴(2a+c)2=2b2\therefore \quad(2 a+c)^{2}=2 b^{2} অতএব, 2a−c=02 a-c=0 অথবা, (2a+c)2=2b2(2 a+c)^{2}=2 b^{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x3−2x2+3x−4f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}-4 এবং f(x)=0f(x)=0 বা, x3−2x2+3x−4=0x^{3}-2 x^{2}+3 x-4=0 এর মূল, α,β,γ\alpha, \beta, \gamma ∴α+β+γ=−−21=2\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-2}{1}=2 αβ+βγ+γα=31=3\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{3}{1}=3 αβγ=−−41=4\alpha \beta \gamma=-\frac{-4}{1}=4 প্রদত্ত রাশি =1Σα3=1α3+1β3+1γ3=\frac{1}{\Sigma \alpha^{3}}=\frac{1}{\alpha^{3}}+\frac{1}{\beta^{3}}+\frac{1}{\gamma^{3}} =(1α)3+(1β)3+(1γ)3−3αβγ+3αβγ=\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{3}+\left(\frac{1}{\beta}\right)^{3}+\left(\frac{1}{\gamma}\right)^{3}-\frac{3}{\alpha \beta \gamma}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma}$ =(1α+1β+1γ)(1α2+1β2+1γ2−1αβ−1βγ−1γα)+3αβγ=\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)\left(\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}+\frac{1}{\gamma^{2}}-\frac{1}{\alpha \beta}-\frac{1}{\beta \gamma}-\frac{1}{\gamma \alpha}\right)+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} [∵a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]\left[\because a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)\right] =(βγ+γα+αβαβγ){(1α+1β+1γ)2−2(1αβ+1βγ+1γα)−(1αβ+1βγ+1γa)}+3αβγγ=\left(\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}\right)\left\{\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)^{2}-2\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}\right)-\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma a}\right)\right\}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma \gamma} [∵a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)]\left[\because a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a)\right] =(αβ+βγ+γααβγ){(αβ+βγ+γααβγ)2−3(1αβ+1βγ+1γα)}+3αβγ=\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)\left\{\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)^{2}-3\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}\right)\right\}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} =(34){(34)2−3⋅(α+β+γαβγ)}+34=\left(\frac{3}{4}\right)\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-3 \cdot\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\alpha \beta \gamma}\right)\right\}+\frac{3}{4} =(34){916−3⋅(24)}+34=\left(\frac{3}{4}\right)\left\{\frac{9}{16}-3 \cdot\left(\frac{2}{4}\right)\right\}+\frac{3}{4} =34(916−32)+34=34(9−2416)+34=\frac{3}{4}\left(\frac{9}{16}-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left(\frac{9-24}{16}\right)+\frac{3}{4} =34×(−1516)+34=−4564+34=−45+4864=364=\frac{3}{4} \times\left(-\frac{15}{16}\right)+\frac{3}{4}=\frac{-45}{64}+\frac{3}{4}=\frac{-45+48}{64}=\frac{3}{64} নির্ণেয় মান : 364\frac{3}{64}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন