Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের অনুপাত [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: মনে করি, [গণিত] সমীকরণটির মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের অনুপাত হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক : দ্বিঘাত সমীকরণ : ax2+bx+b=0;[a≠0]a x^{2}+b x+b=0 ;[a \neq 0]

Dhaka · 2023

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ : 2x2+2(p+q)x+(p2+q2)=02 x^{2}+2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0 ∴\therefore নির্ণয়ক D=4(p+q)2−4⋅2⋅(p2+q2)D=4(p+q)^{2}-4 \cdot 2 \cdot\left(p^{2}+q^{2}\right) =4(p2+2pq+q2)−(8p2+8q2)=4\left(p^{2}+2 p q+q^{2}\right)-\left(8 p^{2}+8 q^{2}\right) =4p2+8pq+4q2−8p2−8q2=4 p^{2}+8 p q+4 q^{2}-8 p^{2}-8 q^{2} =−4p2+8pq−4q2=-4 p^{2}+8 p q-4 q^{2} =−4(p2−2pq+q2)=-4\left(p^{2}-2 p q+q^{2}\right) =−4(p−q)2=-4(p-q)^{2} মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, D=0D=0 ⇒−4(p−q)2=0\Rightarrow-4(p-q)^{2}=0 ⇒(p−q)2=0\Rightarrow(p-q)^{2}=0 ∴p=q\therefore p=q (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, ax2+bx+b=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{b}=0 সমীকরণটির মূলদ্বয় mα\mathrm{m} \alpha ও 3nα3 \mathrm{n} \alpha ∴mα+3nα=−ba\therefore m \alpha+3 n \alpha=-\frac{b}{a} বা, α(m+3n)=−ba∴m+3n=−baα…….(i)\alpha(m+3 n)=\frac{-b}{a} \therefore m+3 n=\frac{-b}{a \alpha} \ldots\ldots. (i) এবং mα⋅3nα=ba∴mn=b3aa2…...(ii)m \alpha \cdot 3 n \alpha=\frac{b}{a} \therefore m n=\frac{b}{3 a a^2} \ldots...(ii) বামপক্ষ =mn+3nm+3ba=\sqrt{\frac{m}{n}}+3 \sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3 b}{a}} =mn+3nm+3ba=m+3nmn+3ba=−baαb3aα2+3ba=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}+\frac{3 \sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{3 b}}{\sqrt{a}}=\frac{m+3 n}{\sqrt{m n}}+\frac{\sqrt{3 b}}{\sqrt{a}}=\frac{\frac{-b}{a \alpha}}{\sqrt{\frac{b}{3 a \alpha^2}}}+\frac{\sqrt{3 b}}{\sqrt{a}} =−(b)2(a)2α⋅3⋅aαb+3ba=−b⋅3a+b⋅3a=0==-\frac{(\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a})^2 \alpha} \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{a} \alpha}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{3 b}}{\sqrt{a}}=-\frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}=0= ডানপক্ষ ∴mn+3nm+3ba=0\therefore \sqrt{\frac{m}{n}}+3 \sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3 b}{a}}=0 (প্রমাণিত)

উত্তর

a=1 ও b=-4 হলে প্রদত্ত সমীকরণ, x2−4x−4=0x^2-4 x-4=0 সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে মূলদ্বয়ের যোগফল, α+β=−(−4)1=4\alpha+\beta=-\frac{(-4)}{1}=4 এবং মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ=−41=−4\alpha \beta=\frac{-4}{1}=-4 এখন, (α−β)2=(α+β)2−4αβ(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta =42−4(−4)=16+16=32=4^2-4(-4)=16+16=32 ∴α−β=±42\therefore \alpha-\beta= \pm 4 \sqrt{2} এখন,α+β\alpha + \beta ও α−β\alpha - \beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(α+β+α−β)x+(α+β)(α−β)=0x^2-(\alpha+\beta+\alpha-\beta) x+(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)=0 বা, x2−(4±42)x+4.(±42)=0x^2-(4 \pm 4 \sqrt{2}) x+4 .( \pm 4 \sqrt{2})=0 ∴x2−(4±42)x±162=0\therefore x^2-(4 \pm 4 \sqrt{2}) x \pm 16 \sqrt{2}=0 (Ans.)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন