Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (i) মনে করি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] ; যেখানে [গণিত] . [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=1x+1l−x−1 mf(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}} দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=x2+qpx+rp\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}

Dinajpur · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iyz=x+i y ∴z‾=x−iy\therefore \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy} 1z=1x−iy\frac{1}{z}=\frac{1}{x-i y} =\frac{x+i y}{(x+i y}(x-i y)} [লব ও হরকে (x+iy)(x+i y) দ্বারা গুণ করে] =x+iyx2−(iy)2=\frac{x+i y}{x^{2}-(i y)^{2}} =x+iyx2−i2y2=\frac{x+i y}{x^{2}-i^{2} y^{2}} =x+iyx+y2[∵i2=−1]=\frac{x+i y}{x+y^{2}}\left[\because i^{2}=-1\right] =(xx2+y2)+i(yx2+y2)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)+i\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) Re⁡(1z)=1z\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{z} জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ =xx2+y2=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} এখন, Re⁡(1zˉ)=12\operatorname{Re}\left(\frac{1}{\bar{z}}\right)=\frac{1}{2} বা, xx2+y2=12\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} বা, x2+y2=2xx^{2}+y^{2}=2 x বা, x2−2x+y2=0x^{2}-2 x+y^{2}=0 বা, (x2−2x+1)+y2=1\left(x^{2}-2 x+1\right)+y^{2}=1 বা, (x−1)2+y2=1(x-1)^{2}+y^{2}=1; যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ, (x−1)2+y2=1(x-1)^{2}+y^{2}=1.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1x+1l−x−1 mf(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}} আবার, f(x)=0f(x)=0 বা, 1x+1l−x−1 m=0\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}}=0 বা, m(l−x)+mx−x(l−x)mx(l−x)\frac{\mathrm{m}(l-\mathrm{x})+\mathrm{mx}-\mathrm{x}(l-\mathrm{x})}{\mathrm{mx}(l-\mathrm{x})} বা, ml−mx+mx−lx+x2mx(l−x)=0\frac{\mathrm{ml}-\mathrm{mx}+\mathrm{mx}-l \mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{mx}(l-\mathrm{x})}=0 বা, x2−lx+lm=0x^{2}-l x+l m=0 …….(i)\ldots\ldots. (i) মনে করি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta; যেখানে α>β\alpha>\beta. ∴α+β=−−l1=l\therefore \alpha+\beta=-\frac{-l}{1}=l αβ=lm⁡1=lm⁡\alpha \beta=\frac{\operatorname{lm}}{1}=\operatorname{lm} শর্তমতে, α−β=n\alpha-\beta=\mathrm{n} বা, (α−β)2=n2(\alpha-\beta)^{2}=\mathrm{n}^{2} [বর্গ করে] বা, (α+β)2−4αβ=n2(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta=n^{2} বা, l2−4lm−n2=0l^{2}-4 l m-n^{2}=0, l=−(−4m)±(−4m)2−4.1(−n2)2.1l =\frac{-(-4 m) \pm \sqrt{(-4 m)^{2}-4.1\left(-n^{2}\right)}}{2.1}=4m±16m2+4n22=\frac{4 m \pm \sqrt{16 m^{2}+4 n^{2}}}{2} =4m±4(4m2+n2)2=\frac{4 m \pm \sqrt{4\left(4 m^{2}+n^{2}\right)}}{2} =4m±24m2+n22=2m±4m2+n2=\frac{4 m \pm 2 \sqrt{4 m^{2}+n^{2}}}{2}=2 m \pm \sqrt{4 m^{2}+n^{2}} ∴l=2m±4m2+n2\therefore l =2 m \pm \sqrt{4 m^{2}+n^{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2+9px+rpg(x)=x^{2}+\frac{9}{p} x+\frac{r}{p} এবং g(x)=0g(x)=0 বা, x2+qpx+rp=0x^{2}+\frac{q}{p} x+\frac{r}{p}=0 বা, px2+qx+rp=0\frac{p x^{2}+q x+r}{p}=0 বা, px2+qx+r=0\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 …...(i)\ldots... (i) মনেকরি, (i) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha ∴\therefore অপর মূলটি α2\alpha^{2} ∴α+α2=−qp\therefore \quad \alpha+\alpha^{2}=-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}. …...(ii)\ldots... (ii) এবং α×α˙2=rp\alpha \times \dot{\alpha}^{2}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} ∴α3=rp\therefore \quad \alpha^{3}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) এখন, (p−qr−q)3=(p−qpr−qp)3\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3}=\left(\frac{\frac{p-q}{p}}{\frac{r-q}{p}}\right)^{3} =(1−qprp−qp)3=\left(\frac{1-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}{\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}\right)^{3} =(1+α+α2α3+α+α2)3=\left(\frac{1+\alpha+\alpha^{2}}{\alpha^{3}+\alpha+\alpha^{2}}\right)^{3} [|(ii) নং ও (iii) নং হতে] ={1+α+α2α(1+α+α2)}3=(1α)3=1α3=1rp=pr=\left\{\frac{1+\alpha+\alpha^{2}}{\alpha\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)}\right\}^{3}=\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{3}=\frac{1}{\alpha^{3}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}} ∴pr=(p−qr−q)3\therefore \quad \frac{p}{r}=\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3} আবার, (ii) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই, (α+α2)3=(−qp)3\left(\alpha+\alpha^{2}\right)^{3}=\left(-\frac{q}{p}\right)^{3} বা, α3+(α2)3+3⋅α⋅α2(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{2}\right)^{3}+3 \cdot \alpha \cdot \alpha^{2}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, α3+(α3)2+3α3(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{3}\right)^{2}+3 \alpha^{3}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2p2+3rp(−qp)=−q3p3\frac{r}{p}+\frac{r^{2}}{p^{2}}+\frac{3 r}{p}\left(-\frac{q}{p}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2p2−3rqp2=−q3p3\frac{r}{p}+\frac{r^{2}}{p^{2}}-\frac{3 r q}{p^{2}}=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2−3rqp2=−q3p3\frac{r p+r^{2}-3 r q}{p^{2}}=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, −r(3q−p−r)=−q3p-r(3 q-p-r)=-\frac{q^{3}}{p} ∴3q−p−r=q3pr\therefore 3 \mathrm{q}-\mathrm{p}-\mathrm{r}=\frac{\mathrm{q}^{3}}{\mathrm{pr}} pr=(p−qr−q)3\frac{p}{r}=\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3} এবং 3q−p−r=q3pr3 q-p-r=\frac{q^{3}}{p r} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দৃশ্যকল্প-১ এ সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর হলে প্রমাণ কর যে, . | Prosthuti