Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত [গণিত] হয় তাহলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] . আবার, [গণিত] সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত p : q মনে করি, মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ, [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত হয় তাহলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

i. mx2+nx+n=L\mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{n}=\mathrm{L} ii. S=6x3−20x2+5\mathrm{S}=6 \mathrm{x}^{3}-20 \mathrm{x}^{2}+5 এবং T=6−6x−9x2\mathrm{T}=6-6 \mathrm{x}-9 \mathrm{x}^{2}.

Jessore · 2023

উত্তর

এখানে, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল 12+i3\frac{1}{2+\mathrm{i} 3} =2−i3(2+i3)(2−i3)=\frac{2-\mathrm{i} 3}{(2+\mathrm{i} 3)(2-\mathrm{i} 3)} =2−i322−(i3)2=2−i34−9i2=2−i34+9[∵i2=−1]=\frac{2-\mathrm{i} 3}{2^{2}-(\mathrm{i} 3)^{2}}=\frac{2-\mathrm{i} 3}{4-9 \mathrm{i}^{2}}=\frac{2-\mathrm{i} 3}{4+9}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =213−i313=\frac{2}{13}-\mathrm{i} \frac{3}{13} আমরা জানি, জটিল মূলগুলো যুগলরূপে থাকে। ∴\therefore \quad অপর মূলটি হবে 213+i313\frac{2}{13}+\mathrm{i} \frac{3}{13} নির্ণেয় সমীকরণ, x2x^{2} - (মূলদ্বয়ের যোগফল) x+x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 বা, x2−(213−i313+213+i313)x+(213−i313)(213+i313)x^{2}-\left(\frac{2}{13}-i \frac{3}{13}+\frac{2}{13}+i \frac{3}{13}\right) x+\left(\frac{2}{13}-i \frac{3}{13}\right)\left(\frac{2}{13}+i \frac{3}{13}\right) বা, x2−413x+(213)2−(313)2=0x^{2}-\frac{4}{13} x+\left(\frac{2}{13}\right)^{2}-\left(\frac{3}{13}\right)^{2}=0 বা, x2−413x+4169−i29169=0x^{2}-\frac{4}{13} x+\frac{4}{169}-i^{2} \frac{9}{169}=0 বা, x2−413x+4169+9169=0[∵i2=−1]x^{2}-\frac{4}{13} x+\frac{4}{169}+\frac{9}{169}=0\left[\because i^{2}=-1\right] বা, x2−413x+13169=0x^{2}-\frac{4}{13} x+\frac{13}{169}=0 বা, x2−413x+113=0x^{2}-\frac{4}{13} x+\frac{1}{13}=0 ∴13x2−4x+1=0\therefore \quad 13 x^{2}-4 x+1=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, mx2+nx+n=Lm x^{2}+n x+n=L. আবার, L=0\mathrm{L}=0 ∴mx2+nx+n=0\therefore \mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{n}=0 সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত p : q মনে করি, মূলদ্বয় pαp \alpha ও qαq \alpha ∴pα+qα=−nm\therefore \mathrm{p} \alpha+\mathrm{q} \alpha=-\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}} বা, α(p+q)=−nm\alpha(p+q)=-\frac{n}{m} ∴p+q=−nmα\therefore \quad p+q=-\frac{n}{m \alpha} এবং pα×qα=nm\mathrm{p} \alpha \times \mathrm{q} \alpha=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}} বা, pqα2=nmp q \alpha^{2}=\frac{n}{m} ∴pq=nmα2\therefore \quad \mathrm{pq}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m} \alpha^{2}} বামপক্ষ, =pq+qp+nm=\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =pq+qp+nm=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}+\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =(p)2+(q)2pq+nm=\frac{(\sqrt{p})^{2}+(\sqrt{q})^{2}}{\sqrt{p q}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =p+qpq+nm=\frac{p+q}{\sqrt{p q}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =−nmαnmα2+nm=\frac{-\frac{n}{m \alpha}}{\sqrt{\frac{n}{m \alpha^{2}}}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =−nmαnmα+nm=\frac{-\frac{n}{m \alpha}}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} \alpha}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =−nmα×mαn+nm=-\frac{n}{m \alpha} \times \frac{\sqrt{m} \alpha}{\sqrt{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}} =−nm+nm=-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} =0==0= ডানপক্ষ ∴pq+qp+nm=0\therefore \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{m}}=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, S=6x3−20x2+5S=6 x^{3}-20 x^{2}+5 এবং T=6−6x−9x2T=6-6 x-9 x^{2} আবার, S=T\mathrm{S}=\mathrm{T} বা, 6x3−20x2+5=6−6x−9x26 x^{3}-20 x^{2}+5=6-6 x-9 x^{2} ∴6x3−11x2+6x−1=0\therefore 6 \mathrm{x}^{3}-11 \mathrm{x}^{2}+6 \mathrm{x}-1=0
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমণের গৌনিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত হলে, ধরি মূলগুলো 1a−d,1a,1a+d\frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d} (i)নং সমীকরণের x\mathrm{x} এর পরিবর্তে 1x\frac{1}{\mathrm{x}} বসিয়ে পাই, 6.(1x)3−11(1x)2+6(1x)−1=06.\left(\frac{1}{x}\right)^{3}-11\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+6\left(\frac{1}{x}\right)-1=0 বা, 6x3−11x2+6x−1=0\frac{6}{x^{3}}-\frac{11}{x^{2}}+\frac{6}{x}-1=0 বা, 6−11x+6x2−x3=06-11 x+6 x^{2}-x^{3}=0 ∴x3−6x2+11x−6=0\therefore \mathrm{x}^{3}-6 \mathrm{x}^{2}+11 \mathrm{x}-6=0 …...(ii)\ldots... (ii) এখন, (ii)নং সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনভুক্ত হওয়ায় মূলগুলো a−d,a,a+da-d, a, a+d ∴(a−d)+a+(a+d)=−−61\therefore \quad(a-d)+a+(a+d)=-\frac{-6}{1} বা, 3a=63 \mathrm{a}=6 ∴a=2\therefore \quad a=2 আবার, (a−d)×a×(a+d)=−−61(a-d) \times a \times(a+d)=-\frac{-6}{1} বা, a(a2−d2)=6a\left(a^{2}-d^{2}\right)=6 বা, 2(22−d2)=6[a2\left(2^{2}-d^{2}\right)=6[a এর মান বসিয়ে] বা, 4−d2=34-d^{2}=3 বা, d2=1d^{2}=1 ∴d=±1\therefore d= \pm 1 a=2, d=1\mathrm{a}=2, \mathrm{~d}=1 হলে, (ii) এর মূলগুলো =a−d,a,a+d=\mathrm{a}-\mathrm{d}, \mathrm{a}, \mathrm{a}+\mathrm{d} =2−1,2,2+1=2-1,2,2+1 =1,2,3=1,2,3 আবার, a=2,d=−1a=2, d=-1 হলে, (ii) এর মূলগুনো =a−d,a,a+d=a-d, a, a+d =2−(−1),2,2+(−1)=2-(-1), 2,2+(-1) =3,2,1=3,2,1 ∴\therefore (i) নং সমীকরণের মূলগুলো 11,12,13=1,12,13\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} নির্ণেয় মান : x=13,12,1x=\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন