Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণটির নিশ্চায়ক, [গণিত] সেহেতু [গণিত] অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1.

Chittagong · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1 এবং f(x)=0f(x)=0 ∴x2+x+1=0\therefore \quad \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1=0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D=(1)2−4.1.1\mathrm{D}=(1)^{2}-4.1 .1 =1−4=−3<0=1-4=-3<0 সেহেতু D<0\mathrm{D}<0 অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1 আবার, {f(x)}n=a0+a1x+a2x2+………+a2nx2n\{f(x)\}^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots \ldots \ldots+a_{2 n} x^{2 n} অর্থাৎ, (1+x+x2)n=a0+a4x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+……..+a2nx2n\left(1+x+x^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{4} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}+a_{6} x^{6} +\ldots \ldots . .+a_{2 n} x^{2 n} …….(1)\ldots\ldots.(1) এখন, (1)নং এ x=1x=1 বসিয়ে পাই, (1+1+12)n=a0+a1+a2+a3+a4+a6+…..+a2n\left(1+1+1^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{6}+\ldots . .+a_{2 n} বা, 3n=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+3^{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+.
…….(2)(1)\ldots\ldots. (2) (1)
নং এ x=ωx=\omega বসিয়ে পাই, (1+ω+ω2)n=a0+a1(ω)+a2ω)2+a3ω)3+a4(ω4+a5(ω5+a6(ω6+…….+a2n(ω2n\left.\left.\left(1+\omega+\omega^{2}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(\omega)+a_{2} \omega\right)^{2}+a_{3} \omega\right)^{3}+a_{4}\left(\omega^{4}+a_{5}\left(\omega^{5}+a_{6}\left(\omega^{6}+\ldots \ldots .+a_{2 n}\left(\omega^{2 n}\right.\right.\right.\right. বা, 0=a0+a1ω+a2ω2+a3+a4ω+a5ω2+a6+0=a_{0}+a_{1} \omega+a_{2} \omega^{2}+a_{3}+a_{4} \omega+a_{5} \omega^{2}+a_{6}+ …..(3)\ldots.. (3) [∵1+ω+ω2=0;ω3=1]\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0 ; \omega^{3}=1\right] আবার, (1)নং এ x=ω2x=\omega^{2} বসিয়ে পাই, (1+ω2+ω4)n=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+a4ω8+a5ω10+a6ω12+……….+a2nω4n\begin{aligned}\left(1+\omega^2+\omega^4\right)^n=a_0+a_1 \omega^2+a_2 \omega^4 & +a_3 \omega^6+a_4 \omega^8+a_5 \omega^{10} +a_6 \omega^{12}+\ldots \ldots \ldots .+a_{2 n} \omega^{4 n}\end{aligned} বা, 0=a0+a1ω2+a2ω+a3+a4ω2+a5ω+a6+0=a_{0}+a_{1} \omega^{2}+a_{2} \omega+a_{3}+a_{4} \omega^{2}+a_{5} \omega+a_{6}+ …….(4)\ldots\ldots. (4) এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 3n=3a0+a1(1+ω+ω2)+a2(1+ω2+ω)+3a3+a4(1+ω+ω2)+a5(1+ω2+ω)+3a6+…...3^{n}=3 a_{0}+ a_{1}\left(1+\omega+\omega^{2}\right)+a_{2}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 a_{3} +a_{4}\left(1+\omega+\omega^{2}\right)+a_{5}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 a_{6}+ \ldots... বা, 3n=3a0+a1⋅0+a2⋅0+3a3+a4⋅0+a5⋅0+3a6+…..[∵1+ω+ω2=0]3^{n}=3 a_{0}+a_{1} \cdot 0+a_{2} \cdot 0+3 a_{3}+a_{4} \cdot 0+a_{5} \cdot 0+3 a_{6}+\ldots . . \quad\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] বা, 3n=3(a0+a3+a6+…….)3^{n}=3\left(a_{0}+a_{3}+a_{6}+\ldots \ldots.\right) বা, 3n3=a0+a3+a6+\frac{3^{n}}{3}=a_{0}+a_{3}+a_{6}+ বা, 3n−1=a0+a3+a6+3^{n-1}=a_{0}+a_{3}+a_{6}+ ∴a0+a3+a6+……..=3n−1\therefore a_{0}+a_{3}+a_{6}+\ldots \ldots . .=3^{n-1}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2+x+1f(x)=x^2+x+1 এবং f(x)=0f(x)=0 বা, x2+x+1=0x^2+x+1=0 সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta ∴α+β=−11=−1\therefore \alpha+\beta=-\frac{1}{1}=-1 এবং αβ=11=1\alpha \beta=\frac{1}{1}=1 আবার, নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha} ∴\therefore মূলদ্বয়ের যোগফল =(α+1β)+(β+1α)=\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)+\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right) =(α+β)+(1α+1β)=(\alpha+\beta)+\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) =(α+β)+α+βαβ=−1+−11=−2=(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=-1+\frac{-1}{1}=-2 মূলদ্বয়ের গুণফল =(α+1β)(β+1α)=\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right) =αβ+1+1+1αβ=1+1+1+11=4=\alpha \beta+1+1+\frac{1}{\alpha \beta}=1+1+1+\frac{1}{1}=4 নির্ণেয় সমীকরণ, x2x^2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল) x+ মূলদ্বয়ের গুণফল =0 বা x2−(−2)x+4=0x^2-(-2) x+4=0 ∴x2+2x+4=0\therefore \quad x^2+2 x+4=0
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    1,−3/2,−21,-3 / 2,-2
  • খ
    −1,−3/2,2-1,-3 / 2,2
  • গ
    −1,3/2,−2-1,3 / 2,-2
  • ঘ
    −1,−3/2,−2-1,-3 / 2,-2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    9/49 / 4
  • খ
    25/425 / 4
  • গ
    29/429 / 4
  • ঘ
    36/436 / 4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

  • ক
    94\frac{9}{4}
  • খ
    −94\frac{-9}{4}
  • গ
    34\frac{3}{4}
  • ঘ
    −34\frac{-3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

  • ক
    −10-10
  • খ
    −2-2
  • গ
    22
  • ঘ
    1010

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

  • ক
    4545
  • খ
    55
  • গ
    −5-5
  • ঘ
    −45-45

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    −1-1
  • গ
    11
  • ঘ
    32\frac{3}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32\frac{-3}{2}
  • খ
    00
  • গ
    32\frac{3}{2}
  • ঘ
    52\frac{5}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −5-5
  • খ
    −4-4
  • গ
    44
  • ঘ
    55

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −nm-\frac{n}{m}
  • খ
    00
  • গ
    nm\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}
  • ঘ
    3m\frac{3}{m}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −53-\frac{5}{3}
  • খ
    −512-\frac{5}{12}
  • গ
    512\frac{5}{12}
  • ঘ
    53\frac{5}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন