Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের মূল দুইটি [গণিত] ও [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] এখানে, সমীকরণটির মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] . [গণিত] ... (i) এবং [গণিত] .. (ii) (i)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(i) ও (ii) ব্যবহার করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা গুণ করে] [গণিত] pqr. (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের মূল দুইটি ও হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ :f(x)=ax2+bx+c: f(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c} দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=px2+qx+r\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}

Comilla · 2023

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 4x2−kx+1=04 \mathbf{x}^{2}-\mathbf{k x}+1=0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D=(−k)2−4.4.1\mathrm{D}=(-\mathrm{k})^{2}-4.4 .1 =k2−16=k^{2}-16 সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে যদি, D=0\mathrm{D}=0 হয় অর্থাৎ, k2−16=0k^{2}-16=0 : বা, k2=16k^{2}=16 ∴k=±4\therefore k= \pm 4 নির্ণেয় kk এর মান : −4,4-4,4.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=px2+qx+rg(x)=p x^{2}+q x+r আবার, g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, px2+qx+r=0\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 এখানে, সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও α2\alpha^{2}. ∴α+α2=−qp\therefore \quad \alpha+\alpha^{2}=-\frac{q}{p} ……...(i)\ldots\ldots... (i) এবং α×α2=rp\alpha \times \alpha^{2}=\frac{r}{p} ∴α3=rp\therefore \quad \alpha^{3}=\frac{r}{p}
……..(ii)(i)\ldots\ldots.. (ii) (i)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই, (α+α2)3=(−qp)3\left(\alpha+\alpha^{2}\right)^{3}=\left(-\frac{q}{p}\right)^{3} বা, α3+(α2)3+3⋅α⋅α2(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{2}\right)^{3}+3 \cdot \alpha \cdot \alpha^{2}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, α3+(α3)2+3α3(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{3}\right)^{2}+3 \alpha^{3}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+(rp)2+3⋅rp(−qp)=−q3p3\frac{r}{p}+\left(\frac{r}{p}\right)^{2}+3 \cdot \frac{r}{p}\left(-\frac{q}{p}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} [(i) ও (ii) ব্যবহার করে] বা, rp+r2p2−3qrp2=−q3p3\frac{r}{p}+\frac{r^{2}}{p^{2}}-\frac{3 q r}{p^{2}}=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, p2r+r2p−3pqr=−q3[p3p^{2} r+r^{2} p-3 p q r=-q^{3} \quad\left[p^{3}\right. দ্বারা গুণ করে] ∴p2r+pr2+q3=3\therefore \mathrm{p}^{2} \mathrm{r}+\mathrm{pr}^{2}+\mathrm{q}^{3}=3 pqr. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c এবং f(x)=0f(x)=0 ∴ax2+bx+c=0\therefore \quad a x^{2}+b x+c=0 ……(i)\ldots\ldots (i) আবার, g(x)=px2+qx+rg(x)=p x^{2}+q x+r এবং g(x)=0g(x)=0 ∴px2+qx+r=0\therefore \mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 …...(ii)\ldots... (ii) আবার, মনেকরি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta ∴α+β=−ba\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{b}{a} এবং αβ=ca\alpha \beta=\frac{c}{a} আবার, মনে করি, (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় γ\gamma ও δ\delta ∴γ+δ=−qp\therefore \quad \gamma+\delta=-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}} এবং γδ=rp\gamma \delta=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} শর্তমতে, αβ=χδ\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\chi}{\delta} বা, α+βα−β=γ+δγ−δ\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}=\frac{\gamma+\delta}{\gamma-\delta} [যোজন-বিয়োজন করে] বা, (α+β)2(α−β)2=(γ+δ)2(γ−δ)2\frac{(\alpha+\beta)^{2}}{(\alpha-\beta)^{2}}=\frac{(\gamma+\delta)^{2}}{(\gamma-\delta)^{2}} [বর্গ করে] বা, (α+β)2(α+β)2−4αβ=(γ+δ)2(γ+δ)2−4γδ\frac{(\alpha+\beta)^{2}}{(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta}=\frac{(\gamma+\delta)^{2}}{(\gamma+\delta)^{2}-4 \gamma \delta} বা, (−ba)2(−ba)2−4ca=(−qp)2(−qp)2−4rp\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}}{\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}-\frac{4 c}{a}}=\frac{\left(-\frac{q}{p}\right)^{2}}{\left(-\frac{q}{p}\right)^{2}-\frac{4 r}{p}} বা, b2a2b2a2−4ca=q2p2q2p2−4rp\frac{\frac{b^{2}}{a^{2}}}{\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4 c}{a}}=\frac{\frac{q^{2}}{p^{2}}}{\frac{q^{2}}{p^{2}}-\frac{4 r}{p}} বা, b2a2b2−4aca2=q2p2q2−4rpp2\frac{\frac{b^{2}}{a^{2}}}{\frac{b^{2}-4 a c}{a^{2}}}=\frac{\frac{q^{2}}{p^{2}}}{\frac{q^{2}-4 r p}{p^{2}}} বা, b2b2−4ca=q2q2−4pr\frac{b^{2}}{b^{2}-4 c a}=\frac{q^{2}}{q^{2}-4 p r} বা, b2−4cab2=q2−4prq2\frac{b^{2}-4 c a}{b^{2}}=\frac{q^{2}-4 p r}{q^{2}} [বিপরীত করে] বা, b2−4ca−b2b2=q2−4pr−q2q2\frac{b^{2}-4 c a-b^{2}}{b^{2}}=\frac{q^{2}-4 p r-q^{2}}{q^{2}} [বিয়োজন করে] বা, −4cab2=−4prq2\frac{-4 c a}{b^{2}}=\frac{-4 p r}{q^{2}} বা, cab2=prq2\frac{c a}{b^{2}}=\frac{p r}{q^{2}} ∴b2ca=q2pr\therefore \frac{b^{2}}{c a}=\frac{q^{2}}{p r} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন