Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] সমীকরণটির নিশ্চায়ক, [গণিত] সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি নিশ্চায়ক [গণিত] হয় অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় [গণিত] এর মান : [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

এর কোন মানের জন্য সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 3x2+4x+7=03x^2+4x+7=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta দৃশ্যকল্প-২: f(x)=x3−px2+qx−rf(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3-\mathrm{px}^2+\mathrm{qx}-\mathrm{r}.

Mymensingh · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, (λ+1)x2+2(λ+2)x+(λ−3)=0(\lambda+1) x^2+2(\lambda+2) x+(\lambda-3)=0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক, D={2(λ+2)}2−4(λ+1)(λ−3)\mathrm{D}=\{2(\lambda+2)\}^2-4(\lambda+1)(\lambda-3) =4(λ+2)2−4(λ2−3λ+λ−3)=4(\lambda+2)^2-4\left(\lambda^2-3 \lambda+\lambda-3\right) =4(λ2+4λ+4−λ2+2λ+3)=4\left(\lambda^2+4 \lambda+4-\lambda^2+2 \lambda+3\right) =4(6λ+7)=4(6 \lambda+7) সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি নিশ্চায়ক D=0\mathrm{D}=0 হয় অর্থাৎ, 4(6λ+7)=04(6 \lambda+7)=0 বা, 6λ+7=06 \lambda+7=0 বা, 6λ=−76 \lambda=-7 ∴λ=−76\therefore \lambda=-\frac{7}{6} নির্ণেয় λ\lambda এর মান : −76-\frac{7}{6}

উত্তর

দেওয়া আছে, 3x2+4x+7=03 x^2+4 x+7=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta ∴α+β=−43\therefore \alpha+\beta=-\frac{4}{3} এবং αβ=73\alpha \beta=\frac{7}{3} এখন, α−2\alpha^{-2} ও β−2\beta^{-2} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে মূলদ্বয়ের যোগফল = α−2+β−2=1α2+1β2\alpha^{-2}+\beta^{-2}=\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2} =α2+β2α2β2=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2 \beta^2} =\frac{(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta}{(\alpha \beta}^2} = (−43)2−2×73(73)2\frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^2-2 \times \frac{7}{3}}{\left(\frac{7}{3}\right)^2} = 169−143499=16−429499=−269×949=−2649\frac{\frac{16}{9}-\frac{14}{3}}{\frac{49}{9}}=\frac{\frac{16-42}{9}}{\frac{49}{9}}=-\frac{26}{9} \times \frac{9}{49}=-\frac{26}{49} এবং মূলদ্বয়ের গুণফল =α−2×β−2=1α2⋅β2=\alpha^{-2} \times \beta^{-2}=\frac{1}{\alpha^2 \cdot \beta^2} =\frac{1}{(\alpha \beta}^2}=\frac{1}{\left(\frac{7}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{49}{9}}=\frac{9}{49} নির্ণেয় সমীকরণ, x2−(\mathrm{x}^2-( মূলদ্বয়ের যোগফল )x+) \mathrm{x}+ মূলদ্বয়ের গুণফল =0=0 বা, x2−(−2649)x+949=0x^2-\left(-\frac{26}{49}\right) x+\frac{9}{49}=0 ∴49x2+26x+9=0\therefore 49 x^2+26 x+9=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x3−px2+qx−rf(x)=x^3-p x^2+q x-r এবং f(x)=0f(x)=0 বা, x3−px2+qx−r=0x^3-p x^2+q x-r=0 সমীকরণটির মূলত্রয়, α,β,γ\alpha, \beta, \gamma ∴α+β+γ=−−p1=p\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-p}{1}=p αβ+βγ+γα=q1=q\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{q}{1}=q αβγ=−−r1=r\alpha \beta \gamma=-\frac{-\mathrm{r}}{1}=\mathrm{r} ∴Σ1α3=1α3+1β3+1γ3\therefore \Sigma \frac{1}{\alpha^3}=\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}+\frac{1}{\gamma^3} =(1α)3+(1β)3+(1γ)3−3αβγ+3αβγ=\left(\frac{1}{\alpha}\right)^3+\left(\frac{1}{\beta}\right)^3+\left(\frac{1}{\gamma}\right)^3-\frac{3}{\alpha \beta \gamma}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} =(1α+1β+1γ)(1α2+1β2+1γ2−1αβ−1βγ−1γα)+3αβγ=\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}-\frac{1}{\alpha \beta}-\frac{1}{\beta \gamma}-\frac{1}{\gamma \alpha}\right)+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} [∵a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]{\left[\because a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)\right]} =(βγ+γα+αβαβγ){(1α+1β+1γ)2−2(1αβ+1βγ+1γα)−(1αβ+1βγ+1γα)}+3αβγ=\left(\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}\right)\left\{\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)^2-2\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}\right)-\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}\right)\right\}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} [∵a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)]{\left[\because a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(a b+b c+c a)\right]} =(αβ+βγ+γααβγ){(αβ+βγ+γααβγ)2−3(1αβ+1βγ+1γα)}+3αβγ=\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)\left\{\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)^2-3\left(\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha}\right)\right\}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} =(αβ+βγ+γααβγ){(αβ+βγ+γααβγ)2−3(α+β+γαβγ)}+3αβγ=\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)\left\{\left(\frac{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma}\right)^2-3\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\alpha \beta \gamma}\right)\right\}+\frac{3}{\alpha \beta \gamma} =gr{(gr)2−3(pr)}+3r=\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{r}}\left\{\left(\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{r}}\right)^2-3\left(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}}\right)\right\}+\frac{3}{\mathrm{r}} =qr(q2r2−3pr)+3r=q3r3−3pqr2+3r=q3−3pqr+3r2r3=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{q}^2}{\mathrm{r}^2}-\frac{3 \mathrm{p}}{\mathrm{r}}\right)+\frac{3}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{q}^3}{\mathrm{r}^3}-\frac{3 \mathrm{pq}}{\mathrm{r}^2}+\frac{3}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{q}^3-3 \mathrm{pqr}+3 \mathrm{r}^2}{\mathrm{r}^3} নির্ণেয় মান: q3−3pqr+3r2r3\frac{q^3-3 p q r+3 r^2}{r^3}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণMymensingh
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন