Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] (i) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] (i) নং এবং (ii) নং বর্গ করে যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

যদি এবং হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

রংপুর ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)\cos 75^{\circ} =\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) =cos⁡45∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅sin⁡30∘=\cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} =12⋅32−12⋅12=14(6−2)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) ∴cos⁡75∘=14(6−2)⋅\therefore \quad \cos 75^{\circ} =\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot (দেখানো হলো)

উত্তর

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(4x)=cos⁡4x\therefore f(4 x)=\cos 4 x f(8x)=cos⁡8xf(8 x)=\cos 8 x f(14x)=cos⁡14xf(14 x)=\cos 14 x প্রদত্ত রाশि =f(2x)⋅f(4x)⋅f(8x)⋅f(14x)=f(2 x) \cdot f(4 x) \cdot f(8 x) \cdot f(14 x) =cos⁡2x⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\cos 2 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =12sin⁡2x(2sin⁡2x⋅cos⁡2x)⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{2 \sin 2 x}(2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x) \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =12sin⁡2xsin⁡4x⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{2 \sin 2 x} \sin 4 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =14sin⁡2x⋅2sin⁡4xcos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{4 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 4 x \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =14sin⁡2x⋅sin⁡8x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{4 \sin 2 x} \cdot \sin 8 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =18sin⁡2x⋅2sin⁡8x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{8 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 8 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =18sin⁡2x⋅sin⁡16x⋅cos⁡14x=\frac{1}{8 \sin 2 x} \cdot \sin 16 x \cdot \cos 14 x =116sin⁡2x⋅2sin⁡16x⋅cos⁡14x=\frac{1}{16 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 16 x \cdot \cos 14 x =116sin⁡2x{sin⁡(16x+14x)+sin⁡(16x−14x)}=\frac{1}{16 \sin 2 x}\{\sin (16 x+14 x)+\sin (16 x-14 x)\} =116sin⁡2x(sin⁡30x+sin⁡2x)=\frac{1}{16 \sin 2 x}(\sin 30 x+\sin 2 x) =116sin⁡2π15(sin⁡2π+sin⁡2π15)[∵x=π15]=\frac{1}{16 \sin \frac{2 \pi}{15}}\left(\sin 2 \pi+\sin \frac{2 \pi}{15}\right)\left[\because x=\frac{\pi}{15}\right] =116sin⁡2π15(0+sin⁡2π15)=116=\frac{1}{16 \sin \frac{2 \pi}{15}}\left(0+\sin \frac{2 \pi}{15}\right)=\frac{1}{16} নির্ণেয় মান : 116\frac{1}{16}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(α)=cos⁡α\therefore f(\alpha)=\cos \alpha ∴f(β)=cos⁡β\therefore f(\beta)=\cos \beta f(π2−α)=cos⁡(π2−α)=sin⁡αf\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha ∴f(π2−β)=cos⁡(π2−β)=sin⁡β\therefore \quad f\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\sin \beta এখানে, f(π2−α)+f(π2−β)=sf\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\mathrm{s} ∴sin⁡α+sin⁡β=s\therefore \quad \sin \alpha+\sin \beta=s ∴2sin⁡α+β2cos⁡α−β2=s\therefore \quad 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}=\mathrm{s} ……(i)\ldots\ldots (i) আবার, f(α)+f(β)=tf(\alpha)+f(\beta)=\mathrm{t} বা, cos⁡α+cos⁡β=t\cos \alpha+\cos \beta=t ∴2cos⁡α+β2cos⁡α−β2=t.\therefore \quad 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}=t . (i) নং এবং (ii) নং বর্গ করে যোগ করে পাই, 4cos⁡2α−β2(sin⁡2α+β2+cos⁡2α+β2)=s2+t24 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}\left(\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=s^2+t^2 বা, 4cos⁡2α−β2=s2+t24 \cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=s^2+\mathrm{t}^2 বা, cos⁡2α−β2=s2+t24\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{s^2+t^2}{4} বা, sec⁡2α−β2=4s2+t2\sec^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{4}{s^2+t^2} বা, 1+tan⁡2α−β2=4s2+t21+\tan^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{4}{s^2+t^2} বা, tan⁡2α−β2=4s2+t2−1=4−s2−t2s2+t2\tan^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{4}{s^2+t^2}-1=\frac{4-s^2-t^2}{s^2+t^2} ∴tan⁡α−β2=±4−s2−t2s2+t2\therefore \quad \tan \frac{\alpha-\beta}{2}= \pm \sqrt{\frac{4-s^2-t^2}{s^2+t^2}}, (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন