Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: উদ্দীপকের চিত্র হতে, [গণিত] বाমপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha+b \sin \alpha=a \cos \beta+b \sin \beta এবং A+B+C=π2A+B+C=\frac{\pi}{2}

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

বाমপক্ষ =1sin⁡10∘−3cos⁡10∘=\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}} =1sin⁡10∘−2⋅sin⁡60∘cos⁡10∘[∵sir⁡60∘=32]=\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{2 \cdot \sin 60^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}\left[\because \operatorname{sir} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\right] =cos⁡10∘−2sin⁡60∘sin⁡10∘sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{\cos 10^{\circ}-2 \sin 60^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =cos⁡10∘−[cos⁡60∘−10∘)−cos⁡(60∘+10∘)]sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{\left.\cos 10^{\circ}-\left[\cos 60^{\circ}-10^{\circ}\right)-\cos \left(60^{\circ}+10^{\circ}\right)\right]}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =cos⁡10∘−cos⁡50∘−cos⁡70∘]sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{\left.\cos 10^{\circ}-\cos 50^{\circ}-\cos 70^{\circ}\right]}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =cos⁡10∘−cos⁡50∘+cos⁡70∘sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{\cos 10^{\circ}-\cos 50^{\circ}+\cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =2sin⁡10∘+50∘2sin⁡50∘−10∘2+cos⁡70∘sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{2 \sin \frac{10^{\circ}+50^{\circ}}{2} \sin \frac{50^{\circ}-10^{\circ}}{2}+\cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =2sin⁡30∘sin⁡20∘+cos⁡70∘sin⁡10∘cos⁡10∘=2⋅12sin⁡20∘+cos⁡70∘sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{2 \sin 30^{\circ} \sin 20^{\circ}+\cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}=\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}+\cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =sin⁡20∘+cos⁡(90∘−20∘)sin⁡10∘cos⁡10∘=sin⁡20∘+sin⁡20∘sin⁡10∘cos⁡10∘=\frac{\sin 20^{\circ}+\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}=\frac{\sin 20^{\circ}+\sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} =2.2sin⁡20∘2sin⁡10∘cos⁡10∘=4sin⁡20∘sin⁡20∘=4==\frac{2.2 \sin 20^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}=\frac{4 \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=4= ডানপক্ষ সুতরাং 1sin⁡10∘−3cos⁡10∘=4\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}=4. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha+b \sin \alpha=a \cos \beta+b \sin \beta বা, b(sin⁡α−sin⁡β)=a(cos⁡β−cos⁡α)b(\sin \alpha-\sin \beta)=a(\cos \beta-\cos \alpha) বা, b. 2cos⁡α+β2sin⁡α−β2=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}= a. 2sin⁡α+β2sin⁡α−β22 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} বা, cos⁡α+β2sin⁡α+β2=ab\frac{\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{a}{b} বা, cos⁡2α+β2sin⁡2α+β2=a2b2\frac{\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{a^2}{b^2} [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2cos⁡2α+β2+sin⁡2α+β2=a2−b2a2+b2\frac{\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}-\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}+\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} [বিয়োজন-যোজন করে] ∴cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2=a2−b2a2+b2[∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1]\therefore \quad \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}-\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\left[\because \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\right] (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপকের চিত্র হতে, 2α+2β+2γ=π2 \alpha+2 \beta+2 \gamma=\pi ∴α+β+γ=π2\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2} বाমপক্ষ =sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =12(2sin⁡2α+2sin⁡2β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\frac{1}{2}\left(2 \sin^2 \alpha+2 \sin^2 \beta\right)+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =12(1−cos⁡2α+1−cos⁡2β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\frac{1}{2}(1-\cos 2 \alpha+1-\cos 2 \beta)+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =12{2−(cos⁡2α+cos⁡2β)}+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\frac{1}{2}\{2-(\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta)\}+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =12{2−2cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)}+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\frac{1}{2}\{2-2 \cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)\}+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−cos⁡(π2−γ)cos⁡(α−β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right) \cos (\alpha-\beta)+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γcos⁡(α−β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma \cos (\alpha-\beta)+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ[cos⁡(α−β)−sin⁡{π2−(α+β)}]+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma\left[\cos (\alpha-\beta)-\sin \left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right\}\right]+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma[\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)]+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1==1-2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=1= ডানপক্ষ ∴sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1\therefore \sin^2 \alpha+\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=1 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন