Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [বি: দ্র: [গণিত] এর পরিবর্তে [গণিত] হবে] দেওয়া আছে, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] দেওয়া আছে, [গণিত] (যোজন - বিয়োজন করে) [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: P=cos⁡25α+cos⁡25β−sin⁡25γ+2cos⁡5αcos⁡5βcos⁡5γP=\cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta-\sin^2 5 \gamma+2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma দৃশ্যকল্প-২ : sec⁡θ=m−ncos⁡αmcos⁡α−n,m=p+Q2,n=P−Q2\sec \theta=\frac{m-n \cos \alpha}{m \cos \alpha-n}, m=\frac{p+Q}{2}, n=\frac{P-Q}{2}

মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =tan⁡75∘=tan⁡(45∘+30∘)=\tan 75^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) =tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘⋅tan⁡30∘=1+131−1⋅13=3+133−13=3+13−1=(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)\begin{aligned} & =\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} \\ & =\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} \\ & \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \\ & =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\end{aligned} =3+23+13−1=4+232=2(2+3)2\begin{aligned} & =\frac{3+2 \sqrt{3}+1}{3-1} \\ & =\frac{4+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}\end{aligned} =2+3==2+\sqrt{3}= ডানপক্ষ ∴tan⁡75∘=2+3\therefore \quad \tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}. (প্রমাণিত)

উত্তর

[বি: দ্র: M এর পরিবর্তে P হবে] দেওয়া আছে, M=cos⁡25α+cos⁡25β−sin⁡25γ+2cos⁡5αcos⁡5βcos⁡5γM=\cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta-\sin^2 5 \gamma+2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma যেখানে, α+β+γ=π\alpha+\beta+\gamma=\pi এখন, cos⁡25α+cos⁡25β−sin⁡25γ=12(2cos⁡25α+cos⁡25β)−sin⁡25γ=12(1+cos⁡10α+1+cos⁡10β)−sin⁡25γ=12(2+cos⁡10α+cos⁡10β)−sin⁡25γ=12[2+2cos⁡(5α+5β)cos⁡(5α−5β)]−sin⁡25γ=1+cos⁡(5α+5β)cos⁡(5α−5β)−sin⁡25γ=cos⁡5(α+β)cos⁡(5α−5β)+cos⁡25γ=cos⁡5(π−γ)cos⁡(5α−5β)+cos⁡25γ[∵α+β+γ=π]=cos⁡(5π−5γ)cos⁡(5α−5β)+cos⁡25γ=−cos⁡5γcos⁡(5α−5β)+cos⁡25γ=−cos⁡5γ[cos⁡(5α−5β)−cos⁡5γ]=−cos⁡5γ[cos⁡(5α−5β)−cos⁡{5π−(5α+5β)}]=−cos⁡5γ[cos⁡(5α−5β)+cos⁡(5α+5β)]=−2cos⁡5αcos⁡5βcos⁡5γ\begin{aligned} & \cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta-\sin^2 5 \gamma=\frac{1}{2}\left(2 \cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta\right)-\sin^2 5 \gamma \\ & =\frac{1}{2}(1+\cos 10 \alpha+1+\cos 10 \beta)-\sin^2 5 \gamma \\ & =\frac{1}{2}(2+\cos 10 \alpha+\cos 10 \beta)-\sin^2 5 \gamma \\ & =\frac{1}{2}[2+2 \cos (5 \alpha+5 \beta) \cos (5 \alpha-5 \beta)]-\sin^2 5 \gamma \\ & =1+\cos (5 \alpha+5 \beta) \cos (5 \alpha-5 \beta)-\sin^2 5 \gamma \\ & =\cos 5(\alpha+\beta) \cos (5 \alpha-5 \beta)+\cos^2 5 \gamma \\ & =\cos 5(\pi-\gamma) \cos (5 \alpha-5 \beta)+\cos^2 5 \gamma[\because \alpha+\beta+\gamma=\pi] \\ & =\cos (5 \pi-5 \gamma) \cos (5 \alpha-5 \beta)+\cos^2 5 \gamma \\ & =-\cos 5 \gamma \cos (5 \alpha-5 \beta)+\cos^2 5 \gamma \\ & =-\cos 5 \gamma[\cos (5 \alpha-5 \beta)-\cos 5 \gamma] \\ & =-\cos 5 \gamma[\cos (5 \alpha-5 \beta)-\cos \{5 \pi-(5 \alpha+5 \beta)\}] \\ & =-\cos 5 \gamma[\cos (5 \alpha-5 \beta)+\cos (5 \alpha+5 \beta)] \\ & =-2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma\end{aligned} বা, cos⁡25α+cos⁡25β−sin⁡25γ=−2cos⁡5αcos⁡5βcos⁡5γ\cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta-\sin^2 5 \gamma=-2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma বা, cos⁡25α+cos⁡25β−sin⁡25γ+2cos⁡5αcos⁡5βcos⁡5γ=0\cos^2 5 \alpha+\cos^2 5 \beta-\sin^2 5 \gamma+2 \cos 5 \alpha \cos 5 \beta \cos 5 \gamma=0 ∴M=0\therefore \quad \mathrm{M}=\mathbf{0}. (প্রমানিত)

উত্তর

[বি: দ্র: φ\varphi এর পরিবর্তে α\alpha হবে] দেওয়া আছে, m=P+Q2\mathrm{m}=\frac{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}{2} ⇒P+Q=2m...........(i)\Rightarrow P + Q = 2m . . . . . . . . . . . (i) n=P−Q2\mathrm{n}=\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{2} P−Q=2n............(ii)P-Q=2 n . . . . . . . . . . . .(ii) (i)+(ii)(i) + (ii) হতে পাই, P+θ+P−Q=2m+2nP+\theta+P-Q=2 m+2 n ⇒2p=2( m+n)\Rightarrow 2 \mathrm{p}=2(\mathrm{~m}+\mathrm{n}) ⇒p=m+n\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{m}+\mathrm{n} (i)−(ii)(i) - (ii) হতে পাই, P+Q−P+Q=2m−2nP+Q-P+Q=2 m-2 n ⇒2Q=2( m−n)\Rightarrow \quad 2 \mathrm{Q}=2(\mathrm{~m}-\mathrm{n}) ⇒Q=m−n\Rightarrow \mathrm{Q}=\mathrm{m}-\mathrm{n} দেওয়া আছে, sec⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n\sec \theta=\frac{m-n \cos \varphi}{m \cos \varphi-n} ⇒1cos⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{m-n \cos \varphi}{m \cos \varphi-n} ⇒mcos⁡θ−ncos⁡θ⋅cos⁡φ=mcos⁡φ−n\Rightarrow \mathrm{m} \cos \theta-\mathrm{n} \cos \theta \cdot \cos \varphi=\mathrm{m} \cos \varphi-\mathrm{n} ⇒mcos⁡θ−mcos⁡φ=ncos⁡θ⋅cos⁡φ−n\Rightarrow \mathrm{m} \cos \theta-\mathrm{m} \cos \varphi=\mathrm{n} \cos \theta \cdot \cos \varphi-\mathrm{n} ⇒m(cos⁡θ−cos⁡φ)=n(cos⁡θ⋅cos⁡φ−1)\Rightarrow \mathrm{m}(\cos \theta-\cos \varphi)=\mathrm{n}(\cos \theta \cdot \cos \varphi-1) ⇒mn=cos⁡θ⋅cos⁡φ−1cos⁡θ−cos⁡φ\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1}{\cos \theta-\cos \varphi} ⇒m+nm−n=cos⁡θ⋅cos⁡φ−1+cos⁡θ−cos⁡φcos⁡θ⋅cos⁡φ−1−cos⁡θ+cos⁡φ\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1+\cos \theta-\cos \varphi}{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1-\cos \theta+\cos \varphi} (যোজন - বিয়োজন করে) \Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta(1+\cos \varphi)-1(1+\cos \varphi)}{\cos \varphi(1+\cos \theta}-1(1+\cos \theta)} \Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{(1+\cos \varphi)(\cos \theta-1)}{(1+\cos \theta}(\cos \varphi-1)} \Rightarrow \frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{m}-\mathrm{n}}=\frac{-(1+\cos \varphi)(1-\cos \theta)}{-(1+\cos \theta}(1-\cos \varphi)} ⇒PQ=2cos⁡2φ2⋅sin⁡2θ22cos⁡2θ2⋅sin⁡2φ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\frac{2 \cos^{2} \frac{\varphi}{2} \cdot \sin^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \cos^{2} \frac{\theta}{2} \cdot \sin^{2} \frac{\varphi}{2}} ⇒PQ=cot⁡2φ2⋅tan⁡2θ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\cot^{2} \frac{\varphi}{2} \cdot \tan^{2} \frac{\theta}{2} ⇒PQ=tan⁡2θ2tan⁡2φ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\frac{\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{\tan^{2} \frac{\varphi}{2}} ⇒PQ=tan⁡2θ2tan⁡φ2\Rightarrow \frac{\sqrt{\mathrm{P}}}{\sqrt{\mathrm{Q}}}=\frac{\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{\tan \frac{\varphi}{2}} ⇒tan⁡θ2⋅Q=tan⁡φ2P\Rightarrow \tan \frac{\theta}{2} \cdot \sqrt{\mathrm{Q}}=\tan \frac{\varphi}{2} \sqrt{\mathrm{P}} ⇒tan⁡θ2P=tan⁡φ2Q\Rightarrow \frac{\tan \frac{\theta}{2}}{\sqrt{\mathrm{P}}}=\frac{\tan \frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\mathrm{Q}}} (Proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন