Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আলোকে যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] .. (i) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(i) নং হতে মান বসিয়ে ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] একাধিক বর্গের যোগফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথকভাবে শূন্য হয়। [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অতএব, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আলোকে যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

A+B+C=π2\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}

Sylhet · 2023

উত্তর

বামপক্ষ =cos⁡5θ=\cos 5 \theta =cos⁡(4θ+θ)=\cos (4 \theta+\theta) =cos⁡4θ⋅cos⁡θ−sin⁡4θ⋅sin⁡θ=\cos 4 \theta \cdot \cos \theta-\sin 4 \theta \cdot \sin \theta =cos⁡(2⋅2θ)⋅cos⁡θ−sin⁡(2⋅2θ)⋅sin⁡θ=\cos (2 \cdot 2 \theta) \cdot \cos \theta-\sin (2 \cdot 2 \theta) \cdot \sin \theta =(2cos⁡22θ−1)⋅cos⁡θ−2sin⁡2θ⋅cos⁡2θ⋅sin⁡θ=\left(2 \cos^{2} 2 \theta-1\right) \cdot \cos \theta-2 \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \sin \theta =2cos⁡22θ⋅cos⁡θ−cos⁡θ−2⋅2sin⁡θ⋅cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅sin⁡θ=2 \cos^{2} 2 \theta \cdot \cos \theta-\cos \theta-2 \cdot 2 \sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \sin \theta =2(2cos⁡2θ−1)2⋅cos⁡θ−cos⁡θ−4sin⁡2θ⋅cos⁡θ⋅cos⁡2θ=2\left(2 \cos^{2} \theta-1\right)^{2} \cdot \cos \theta-\cos \theta-4 \sin^{2} \theta \cdot \cos \theta \cdot \cos 2 \theta =2(4cos⁡4θ−4cos⁡2θ+1)⋅cos⁡θ−cos⁡θ−4(1−cos⁡2θ)⋅cos⁡θ⋅cos⁡2θ=2\left(4 \cos^{4} \theta-4 \cos^{2} \theta+1\right) \cdot \cos \theta-\cos \theta-4\left(1-\cos^{2} \theta\right) \cdot \cos \theta \cdot \cos 2 \theta =8cos⁡5θ−8cos⁡3θ+2cos⁡θ−cos⁡θ−(4cos⁡θ−4cos⁡3θ)⋅(2cos⁡2θ−1)=8 \cos^{5} \theta-8 \cos^{3} \theta+2 \cos \theta-\cos \theta-\left(4 \cos \theta-4 \cos^{3} \theta\right) \cdot\left(2 \cos^{2} \theta-1\right) =8cos⁡5θ−8cos⁡3θ+cos⁡θ−(8cos⁡3θ−4cos⁡θ−8cos⁡5θ+4cos⁡3θ)=8 \cos^{5} \theta-8 \cos^{3} \theta+\cos \theta-\left(8 \cos^{3} \theta-4 \cos \theta-8 \cos^{5} \theta+4 \cos^{3} \theta\right) =8cos⁡5θ−8cos⁡3θ+cos⁡θ−8cos⁡3θ+4cos⁡θ+8cos⁡5θ−4cos⁡3θ=8 \cos^{5} \theta-8 \cos^{3} \theta+\cos \theta-8 \cos^{3} \theta+4 \cos \theta+8 \cos^{5} \theta-4 \cos^{3} \theta =16cos⁡5θ−20cos⁡3θ+5cos⁡θ=16 \cos^{5} \theta-20 \cos^{3} \theta+5 \cos \theta == ডানপক্ষ ∴cos⁡5θ=16cos⁡5θ−20cos⁡3θ+5cos⁡θ\therefore \quad \cos 5 \theta=16 \cos^{5} \theta-20 \cos^{3} \theta+5 \cos \theta. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A+B+C=π2\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2} বামপক্ষ =cos⁡(B+C)+cos⁡(C+A)+cos⁡(A+B)=\cos (\mathrm{B}+\mathrm{C})+\cos (\mathrm{C}+\mathrm{A})+\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B}) =cos⁡(π2−A)+cos⁡(π2−B)+cos⁡(π2−C)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{A}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{B}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{C}\right) =sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C=\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C} [∵A+B+C=π2]\left[\because \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}\right] =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2+sin⁡C−1=1+2 \sin \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2} \cdot \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}+\sin \mathrm{C}-1 =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2+sin⁡C−sin⁡π2=1+2 \sin \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2} \cdot \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}+\sin \mathrm{C}-\sin \frac{\pi}{2} =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2+sin⁡C−sin⁡(A+B+C)=1+2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}+\sin C-\sin (A+B+C) [∵A+B+C=π2]\left[\because A+B+C=\frac{\pi}{2}\right] =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2+2cos⁡C+A+B+C2⋅sin⁡C−A−B−C2=1+2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos \frac{C+A+B+C}{2} \cdot \sin \frac{C-A-B-C}{2} =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2+2cos⁡A+B+2C2⋅sin⁡{−(A+B2)}=1+2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos \frac{A+B+2 C}{2} \cdot \sin \left\{-\left(\frac{A+B}{2}\right)\right\} =1+2sin⁡A+B2⋅cos⁡A−B2−2cos⁡A+B+2C2⋅sin⁡A+B2=1+2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \cos \frac{A-B}{2}-2 \cos \frac{A+B+2 C}{2} \cdot \sin \frac{A+B}{2} =1+2sin⁡A+B2[cos⁡A−B2−cos⁡A+B+2C2]=1+2 \sin \frac{A+B}{2}\left[\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B+2 C}{2}\right] =1+2sin⁡A+B2⋅2sin⁡A−B+A+B+2C4⋅sin⁡A+B+2C−A+B4=1+2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot 2 \sin \frac{A-B+A+B+2 C}{4} \cdot \sin \frac{A+B+2 C-A+B}{4} =1+4sin⁡A+B2⋅sin⁡A+C2⋅sin⁡B+C2=1+4 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{A+C}{2} \cdot \sin \frac{B+C}{2} =1+4sin⁡π2−C2⋅sin⁡π2−B2⋅sin⁡π2−A2[∵A+B+C=π2]=1+4 \sin \frac{\frac{\pi}{2}-\mathrm{C}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2}-\mathrm{B}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2}-\mathrm{A}}{2}\left[\because \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}\right] =1+4sin⁡π−2C4⋅sin⁡π−B4⋅sin⁡π−2 A4=1+4 \sin \frac{\pi-2 \mathrm{C}}{4} \cdot \sin \frac{\pi-\mathrm{B}}{4} \cdot \sin \frac{\pi-2 \mathrm{~A}}{4} =1+4sin⁡π−2 A4⋅sin⁡π−2 B4⋅sin⁡π−2C4=1+4 \sin \frac{\pi-2 \mathrm{~A}}{4} \cdot \sin \frac{\pi-2 \mathrm{~B}}{4} \cdot \sin \frac{\pi-2 \mathrm{C}}{4} = বামপক্ষ ∴cos⁡(B+C)+cos⁡(C+A)+cos⁡(A+B)\therefore \quad \cos (\mathrm{B}+\mathrm{C})+\cos (\mathrm{C}+\mathrm{A})+\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B}) =1+4sin⁡π−2A4⋅sin⁡π−2B4⋅sin⁡π−2C4=1+4 \sin \frac{\pi-2 A}{4} \cdot \sin \frac{\pi-2 B}{4} \cdot \sin \frac{\pi-2 C}{4}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, A+B+C=π2\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\frac{\pi}{2} বা, A+B=π2−C\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{2}-\mathrm{C} বা, tan⁡(A+B)=tan⁡(π2−C)\tan (A+B)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-C\right) বা, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B=cot⁡C\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}=\cot C বা, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B=1tan⁡C\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}=\frac{1}{\tan C} বা, tan⁡A⋅tan⁡C+tan⁡B⋅tan⁡C=1−tan⁡A⋅tan⁡B\tan A \cdot \tan C+\tan B \cdot \tan C=1-\tan A \cdot \tan B বা, tan⁡A⋅tan⁡C+tan⁡B⋅tan⁡C+tan⁡A⋅tan⁡B=1\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{C}+\tan \mathrm{B} \cdot \tan \mathrm{C}+\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}=1 ……..(i)\ldots\ldots.. (i) আবার, tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=3\tan A+\tan B+\tan C=\sqrt{3} বা, (tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C)2=(3)2(\tan A+\tan B+\tan C)^{2}=(\sqrt{3})^{2} [বর্গ করে] বা, tan⁡2 A+tan⁡2 B+tan⁡2C+2(tan⁡A⋅tan⁡B+tan⁡B⋅tan⁡C\tan^{2} \mathrm{~A}+\tan^{2} \mathrm{~B}+\tan^{2} \mathrm{C}+2(\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}+\tan \mathrm{B} \cdot \tan \mathrm{C} +tan⁡C⋅tan⁡A)=3+\tan C \cdot \tan A)=3 বা, tan⁡2 A+tan⁡2 B+tan⁡2C+2.1=3\tan^{2} \mathrm{~A}+\tan^{2} \mathrm{~B}+\tan^{2} \mathrm{C}+2.1=3 [(i) নং হতে মান বসিয়ে ] বা, tan⁡2 A+tan⁡2 B+tan⁡2C−1=0\tan^{2} \mathrm{~A}+\tan^{2} \mathrm{~B}+\tan^{2} \mathrm{C}-1=0 বা, 2tan⁡2 A+2tan⁡2 B+2tan⁡2C−2=02 \tan^{2} \mathrm{~A}+2 \tan^{2} \mathrm{~B}+2 \tan^{2} \mathrm{C}-2=0 বা, 2tan⁡2 A+2tan⁡2 B+2tan⁡2C−2(tan⁡A⋅tan⁡B+tan⁡B⋅tan⁡C+tan⁡C⋅tan⁡A)=02 \tan^{2} \mathrm{~A}+2 \tan^{2} \mathrm{~B}+2 \tan^{2} \mathrm{C}-2(\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}+\tan \mathrm{B} \cdot \tan \mathrm{C} +\tan C \cdot \tan A)=0 বা, tan⁡2 A−2tan⁡A⋅tan⁡B+tan⁡2 B+tan⁡2 B−2tan⁡B⋅tan⁡C+tan⁡2C+tan⁡2C−2tan⁡C⋅tan⁡A+tan⁡2A=0\tan^{2} \mathrm{~A}-2 \tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}+\tan^{2} \mathrm{~B}+\tan^{2} \mathrm{~B}-2 \tan \mathrm{B} \cdot \tan \mathrm{C} +\tan^{2} C+\tan^{2} C-2 \tan C \cdot \tan A+\tan^{2} A=0 বা, (tan⁡A−tan⁡B)2+(tan⁡B−tan⁡C)2+(tan⁡C−tan⁡A)2=0(\tan A-\tan B)^{2}+(\tan B-\tan C)^{2}+(\tan C-\tan A)^{2}=0 একাধিক বর্গের যোগফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে পৃথকভাবে শূন্য হয়। ∴tan⁡A−tan⁡B=0,tan⁡B−tan⁡C=0\therefore \tan A-\tan B=0, \tan B-\tan C=0 এবং tan⁡C−tan⁡A=0\tan C-\tan A=0 বা, tan⁡A=tan⁡B\tan A=\tan B বা, tan⁡B=tan⁡C\tan B=\tan C বা, tan⁡C=tan⁡A\tan C=\tan A বা, A=B\mathrm{A}=\mathrm{B} \quad বা, B=C\mathrm{B}=\mathrm{C} \quad বা, C=A\mathrm{C}=\mathrm{A} অতএব, A=B=CA=B=C. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন