Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2022

উত্তর

আমরা জানি, cos⁡c=a2+b2−c22ab\cos c=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} ⇒cos⁡60∘=(3+1)2+(3−1)2−c22(3+1)(3−1)\Rightarrow \cos 60^{\circ}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2-c^2}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} ⇒12=2{(3)2+1}−c2[(3)2−12]\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2\left\{(\sqrt{3})^2+1\right\}-c}{2\left[(\sqrt{3})^2-1^2\right]} ⇒14=2×4−c22×2\Rightarrow \frac{1}{4}=\frac{2 \times 4-c^2}{2 \times 2} ⇒2=8−c2\Rightarrow 2=8-c^2 ∴C=6\therefore C=\sqrt{6} (Ans)

উত্তর

যেকোনো ত্রিভুজের কোনো বাহু বর্ধিত করলে যে বহিস্থ কোণ তৈরী হয়, তা অন্তস্থ বীপরীত কোণ দ্বয়ের যোগফলের সমান, ∴∠ACD=∠A+∠B⇒2θ=220∘θ=60∘\begin{gathered}\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B} \\ \Rightarrow 2 \theta=220^{\circ} \\ \theta=60^{\circ}\end{gathered} এখন,  L.S =sin⁡2(θ+α)+sin⁡2(θ−α)−cos⁡2α=12[2sin⁡2(θ+α)+2sin⁡2(θ−α)−2cos⁡2α]=12[1−cos⁡2(θ+α)+1−cos⁡2(θ−α)−(1+cos⁡2α)]=12(2−cos⁡(2α)−[cos⁡(2θ+2α)+cos⁡(2θ−2α)−cos⁡2α)=12[1−cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)=2cos⁡ Acos B]=12[1−2cos⁡2θcos⁡2α−cos⁡2α]=12(1−2cos⁡(120∘)cos⁡2α−cos⁡2α)=12(1−2×(−1/2)cos⁡2α−cos⁡2α)=12(1+cos⁡2α−cos⁡/2α)=12=R⋅s( Showed )\begin{aligned} \text{ L.S } & =\sin^2(\theta+\alpha)+\sin^2(\theta-\alpha)-\cos^2 \alpha \\ & =\frac{1}{2}\left[2 \sin^2(\theta+\alpha)+2 \sin^2(\theta-\alpha)-2 \cos^2 \alpha\right] \\ & =\frac{1}{2}\left [1-\cos 2(\theta +\alpha)+1-\cos 2(\theta-\alpha)-(1+\cos 2\alpha)\right]\\ & =\frac{1}{2}(2-\cos (2 \alpha)-[\cos (2 \theta+2 \alpha)+\cos (2 \theta-2 \alpha)-\cos 2 \alpha) \\ & =\frac{1}{2}[1-\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})+\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})=2 \cos \text{ Acos } \mathrm{B}] \\ & =\frac{1}{2}[1-2 \cos 2 \theta \cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha] \\ & =\frac{1}{2}\left(1-2 \cos \left(120^{\circ}\right) \cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha\right) \\ & =\frac{1}{2}(1-2 \times(-1 / 2) \cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha) \\ & =\frac{1}{2}(1+\cos 2 \alpha-\cos / 2 \alpha) \\ & =\frac{1}{2}=\mathrm{R} \cdot \mathrm{s}(\text{ Showed })\end{aligned}

উত্তর

 L.S =sin⁡2A−sin⁡2B+sin⁡2C=2cos⁡2A+2B2sin⁡2A−2B2+2sin⁡Ccos⁡C∴sin⁡C−sin⁡D=2cos⁡A+B2⋅sin⁡A−B2=2cos⁡(A+B)sin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C=2cos⁡(π−C)sin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C=−2cos⁡Csin⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C[∵A+B+C=π]=2cos⁡C(−sin⁡(A−B)+sin⁡C)=2cos⁡C[sin⁡π−(A+B)−sin⁡(A−B)][i নং থেকে]=2cos⁡C[sin⁡(A+B)=sin⁡(A−B)]=2cos⁡C×2cos⁡A⋅sin⁡B=4sin⁡Bcos⁡Acos⁡C=4cos⁡Asin⁡Bcos⁡(π−(A+B)=4cos⁡Asin⁡Bcos⁡(π−2θ)=4cos⁡Asin⁡B(−cos⁡2θ)=−4cos⁡Asin⁡Bcos⁡2θ=R.S (Proved) \begin{aligned} \text{ L.S } & =\sin 2 A-\sin 2 B+\sin 2 C \\ & =2 \cos \frac{2 A+2 B}{2} \sin \frac{2 A-2 B}{2}+2 \sin C \cos C \\& \therefore \sin C-\sin D=2 \cos \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{A-B}{2} \\& =2 \cos (A+B) \sin (A-B)+2 \sin C \cos C \\& =2 \cos (\pi-C) \sin (A-B)+2 \sin C \cos C \\& =-2 \cos C \sin (A-B)+2 \sin C \cos C[\because A+B+C=\pi] \\& =2 \cos C(-\sin (A-B)+\sin C) \\& =2 \cos C[\sin \pi-(A+B)-\sin (A-B)][i \text{ নং থেকে}] \\& =2 \cos C[\sin (A+B)=\sin (A-B)] \\& =2 \cos \mathrm{C} \times 2 \cos \mathrm{A} \cdot \sin \mathrm{B} \\& =4 \sin B \cos A \cos C \\& =4 \cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B} \cos (\pi-(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \\& =4 \cos A \sin B \cos (\pi-2 \theta) \\ & =4 \cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}(-\cos 2 \theta) \\& =-4 \cos A \sin B \cos 2 \theta \\ & =\text{R.S (Proved) }\end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন