Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (i) + (ii) হতে পাই, [গণিত] (i) – (ii) হতে পাই, [গণিত] দেওয়া আছে, [গণিত] (যোজন - বিয়োজন করে) [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: sec⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n,m=P+Q2,n=P−Q2\sec \theta =\frac{\mathrm{m}-\mathrm{n} \cos \varphi}{\mathrm{m} \cos \varphi-\mathrm{n}}, \mathrm{m}=\frac{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}{2}, \mathrm{n}=\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{2}.

Sylhet · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, sin⁡θ2+cos⁡θ21+sin⁡θ\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{1+\sin \theta}} =sin⁡θ2+cos⁡θ21+2sin⁡θ2⋅cos⁡θ2=\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{1+2 \sin \frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{2}}} =sin⁡θ2+cos⁡θ2sin⁡2θ2+cos⁡2θ2+2sin⁡θ2⋅cos⁡θ2=\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{\sin^{2} \frac{\theta}{2}+\cos^{2} \frac{\theta}{2}+2 \sin \frac{\theta}{2} \cdot \cos \frac{\theta}{2}}} =sin⁡θ2+cos⁡θ2(sin⁡θ2+cos⁡2)2=\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sqrt{\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos^{2}\right)^{2}}} =sin⁡θ2+cos⁡θ2sin⁡θ2+cos⁡θ2=\frac{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}} =1=1

উত্তর

R⋅H⋅S=(b+c)sin⁡A2\mathrm{R} \cdot \mathrm{H} \cdot \mathrm{S} =(\mathrm{b}+\mathrm{c}) \sin \frac{\mathrm{A}}{2} =a⋅b+ca⋅sin⁡A2=\mathrm{a} \cdot \frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \cdot \sin \frac{\mathrm{A}}{2} =a⋅2Rsin⁡B+2Rsin⁡C2Rsin⁡A⋅sin⁡A2=\mathrm{a} \cdot \frac{2 R \sin \mathrm{B}+2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C}}{2 \mathrm{R} \sin \mathrm{A}} \cdot \sin \frac{\mathrm{A}}{2} =a⋅sin⁡B+sin⁡Csin⁡A⋅sin⁡A2=\mathrm{a} \cdot \frac{\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}} \cdot \sin \frac{A}{2} =a⋅2sin⁡B+C2⋅cos⁡B−C2sin⁡A⋅sin⁡A2=\mathrm{a} \cdot \frac{2 \sin \frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2} \cdot \cos \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}}{\sin \mathrm{A}} \cdot \sin \frac{A}{2} =a⋅2sin⁡(B−A2)⋅cos⁡(B−C2)sin⁡A⋅sin⁡A2=a \cdot \frac{2 \sin \left(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{A}}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}\right)}{\sin \mathrm{A}} \cdot \sin \frac{\mathrm{A}}{2} =a⋅2cos⁡A2⋅cos⁡B−c22sin⁡A2⋅cos⁡A2⋅sin⁡A2=\mathrm{a} \cdot \frac{2 \cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{\mathrm{B}-\mathrm{c}}{2}}{2 \sin \frac{\mathrm{A}}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}} \cdot \sin \frac{A}{2} =a⋅cos⁡B−C2=a \cdot \cos \frac{B-C}{2} =acos⁡π−A−B−B2=a \cos \frac{\pi-A-B-B}{2} =a⋅cos⁡{π2−A+2B2}=a \cdot \cos \left\{\frac{\pi}{2}-\frac{A+2 B}{2}\right\} =asin⁡(A+2B2)=a \sin \left(\frac{A+2 B}{2}\right) =asin⁡(A2+B)=a \sin \left(\frac{A}{2}+B\right) =L⋅H⋅S=L \cdot H \cdot S ∴(A2+B)=(b+C)sin⁡A2\therefore \left(\frac{A}{2}+B\right)=(b+C) \sin \frac{A}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, m=P+Q2\mathrm{m}=\frac{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}{2} ⇒P+Q=2m…...(i)\Rightarrow P + Q = 2m \ldots... (i) n=P−Q2\mathrm{n}=\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{2} QP−Q=2nQ P-Q=2 n (i) + (ii) হতে পাই, P+θ+P−Q=2m+2nP+\theta+P-Q=2 m+2 n ⇒2p=2( m+n)\Rightarrow 2 \mathrm{p}=2(\mathrm{~m}+\mathrm{n}) ⇒p=m+n\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{m}+\mathrm{n} (i) – (ii) হতে পাই, P+Q−P+Q=2m−2nP+Q-P+Q=2 m-2 n ⇒2Q=2( m−n)\Rightarrow \quad 2 \mathrm{Q}=2(\mathrm{~m}-\mathrm{n}) ⇒Q=m−n\Rightarrow \mathrm{Q}=\mathrm{m}-\mathrm{n} দেওয়া আছে, sec⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n\sec \theta=\frac{m-n \cos \varphi}{m \cos \varphi-n} ⇒1cos⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{m-n \cos \varphi}{m \cos \varphi-n} ⇒mcos⁡θ−ncos⁡θ⋅cos⁡φ=mcos⁡φ−n\Rightarrow \mathrm{m} \cos \theta-\mathrm{n} \cos \theta \cdot \cos \varphi=\mathrm{m} \cos \varphi-\mathrm{n} ⇒mcos⁡θ−mcos⁡φ=ncos⁡θ⋅cos⁡φ−n\Rightarrow \mathrm{m} \cos \theta-\mathrm{m} \cos \varphi=\mathrm{n} \cos \theta \cdot \cos \varphi-\mathrm{n} ⇒m(cos⁡θ−cos⁡φ)=n(cos⁡θ⋅cos⁡φ−1)\Rightarrow \mathrm{m}(\cos \theta-\cos \varphi)=\mathrm{n}(\cos \theta \cdot \cos \varphi-1) ⇒mn=cos⁡θ⋅cos⁡φ−1cos⁡θ−cos⁡φ\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1}{\cos \theta-\cos \varphi} ⇒m+nm−n=cos⁡θ⋅cos⁡φ−1+cos⁡θ−cos⁡φcos⁡θ⋅cos⁡φ−1−cos⁡θ+cos⁡φ\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1+\cos \theta-\cos \varphi}{\cos \theta \cdot \cos \varphi-1-\cos \theta+\cos \varphi} (যোজন - বিয়োজন করে) \Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta(1+\cos \varphi)-1(1+\cos \varphi)}{\cos \varphi(1+\cos \theta}-1(1+\cos \theta)} \Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{(1+\cos \varphi)(\cos \theta-1)}{(1+\cos \theta}(\cos \varphi-1)} \Rightarrow \frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{m}-\mathrm{n}}=\frac{-(1+\cos \varphi)(1-\cos \theta)}{-(1+\cos \theta}(1-\cos \varphi)} ⇒PQ=2cos⁡2φ2⋅sin⁡2θ22cos⁡2θ2⋅sin⁡2φ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\frac{2 \cos^{2} \frac{\varphi}{2} \cdot \sin^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \cos^{2} \frac{\theta}{2} \cdot \sin^{2} \frac{\varphi}{2}} ⇒PQ=cot⁡2φ2⋅tan⁡2θ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\cot^{2} \frac{\varphi}{2} \cdot \tan^{2} \frac{\theta}{2} ⇒PQ=tan⁡2θ2tan⁡2φ2\Rightarrow \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\frac{\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{\tan^{2} \frac{\varphi}{2}} ⇒PQ=tan⁡2θ2tan⁡φ2\Rightarrow \frac{\sqrt{\mathrm{P}}}{\sqrt{\mathrm{Q}}}=\frac{\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{\tan \frac{\varphi}{2}} ⇒tan⁡θ2⋅Q=tan⁡φ2P\Rightarrow \tan \frac{\theta}{2} \cdot \sqrt{\mathrm{Q}}=\tan \frac{\varphi}{2} \sqrt{\mathrm{P}} ⇒tan⁡θ2P=tan⁡φ2Q\Rightarrow \frac{\tan \frac{\theta}{2}}{\sqrt{\mathrm{P}}}=\frac{\tan \frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\mathrm{Q}}} (Proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন