Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ= [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image

রংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ · 2025

উত্তর

আমরা জানি, tan⁡45∘=1\tan 45^{\circ}=1 বা, tan⁡(36∘+9∘)=1\tan \left(36^{\circ}+9^{\circ}\right)=1 বা, tan⁡36∘+tan⁡9∘1−tan⁡36∘tan⁡9∘=1\frac{\tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}}{1-\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ}}=1 বা, tan⁡36∘+tan⁡9∘=1−tan⁡36∘tan⁡9∘\tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}=1-\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ} ∴tan⁡36∘+tan⁡9∘+tan⁡36∘tan⁡9∘=1.\therefore \quad \tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}+\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ}=1 . (দেখানো হলো)

উত্তর

বামপক্ষ= =cos⁡2A2+cos⁡2B2+cos⁡2C2=12(1+cos⁡2⋅A2)+12(1+cos⁡2⋅B2)+cos⁡2C2[∵2cos⁡2θ=1+cos⁡2θ]=12(2+cos⁡A+cos⁡B)+cos⁡2C2=12×2+12(cos⁡A+cos⁡B)+cos⁡2C2=1+12⋅2cos⁡(A+B2)cos⁡(A−B2)+cos⁡2C2,=1+cos⁡(π2−C2)cos⁡(A−B2)+cos⁡2C2[∵A+B+C=π]\begin{aligned} & =\cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =\frac{1}{2}\left(1+\cos 2 \cdot \frac{A}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(1+\cos 2 \cdot \frac{B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & \quad\left[\because 2 \cos^2 \theta=1+\cos 2 \theta\right] \\ & =\frac{1}{2}(2+\cos A+\cos B)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 2+\frac{1}{2}(\cos A+\cos B)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2}, \\ & =1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & \quad [\because A+B+C=\pi]\end{aligned} =1+sin⁡C2cos⁡(A−B2)+1−sin⁡2C2[∵cos⁡2A=1−sin⁡2A]\begin{aligned} &=1+\sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+1-\sin^2 \frac{C}{2} \\ & {\left[\because \cos^2 A=1-\sin^2 A\right] }\end{aligned} =2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−sin⁡C2]=2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−sin⁡(π2−A+B2)]=2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−cos⁡(A+B2)]=2+sin⁡C2⋅2sin⁡A2⋅sin⁡B2=2+2sin⁡A2⋅sin⁡B2sin⁡C2\begin{aligned} & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \\ & =2+2 \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴cos⁡2A2+cos⁡2B2+cos⁡2C2=2+2sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\therefore \cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2}=2+2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, a4+b4+c4=2c2(a2+b2)a^4+b^4+c^4=2 c^2\left(a^2+b^2\right) বা, a4+b4+c4−2c2a2−2b2c2=0a^4+b^4+c^4-2 c^2 a^2-2 b^2 c^2=0 বা, a4+b4+c4+2a2b2−2c2a2−2b2c2=2a2b2a^4+b^4+c^4+2 a^2 b^2-2 c^2 a^2-2 b^2 c^2=2 a^2 b^2 বা, (a2+b2−c2)2=2a2b2\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=2 a^2 b^2 বা, a2+b2−c2=±2ab\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2= \pm \sqrt{2} \mathrm{ab} বা, a2+b2−c22ab=±2ab2ab\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}= \pm \frac{\sqrt{2} a b}{2 a b} বা, cos⁡C=±12[∵cos⁡C=a2+b2−c22ab]\cos C= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\because \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}\right] ∴cos⁡C=12\therefore \cos C=\frac{1}{\sqrt{2}} cos⁡C=cos⁡45∘\cos C=\cos 45^{\circ} ∴C=45∘\therefore C=45^{\circ} অথবা, cos⁡C=−12\cos C=-\frac{1}{\sqrt{2}} বা, cos⁡C=cos⁡135∘\cos C=\cos 135^{\circ} ∴C=135∘\therefore C=135^{\circ} অতএব, C = 45° অথবা 135°. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতরংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন