Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (i) [গণিত] ...(ii) (i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বিয়োজন-যোজন করে] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দেখাও যে, [গণিত]

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: sin⁡α+sin⁡β=a\sin \alpha+\sin \beta=a এবং cos⁡α+cos⁡β=b\cos \alpha+\cos \beta=b যেখানে, α+β=180∘\alpha+\beta=180^{\circ} দৃশ্যকল্প-২ : cos⁡P(1+cos⁡2P)=2cos⁡Q\cos \mathrm{P}\left(1+\cos^{2} \mathrm{P}\right)=\sqrt{2} \cos \mathrm{Q} এবং sin⁡P(1−sin⁡2P)=2sin⁡Q\sin P\left(1-\sin^2 P\right)=\sqrt{2} \sin Q

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, α+β=180∘\alpha+\beta=180^{\circ} প্রদত্ত রাশি =sin⁡α−sin⁡β=\sin \alpha-\sin \beta =sin⁡α−sin⁡(180∘−α)=\sin \alpha-\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) [∵α+β=180∘]\left[\because \alpha+\beta=180^{\circ}\right] =sin⁡α−sin⁡α=0=\sin \alpha-\sin \alpha=0 নির্ণেয় মান: sin⁡α−sin⁡β=0\sin \alpha-\sin \beta=0

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡α+sin⁡β=a\sin \alpha+\sin \beta=\mathbf{a} ………(i)\ldots\ldots\ldots(i) cos⁡α+cos⁡β=b\cos \alpha+\cos \beta=b
……...(ii)(i)\ldots\ldots...(ii) (i)
নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, ∴sin⁡α+sin⁡βcos⁡α+cos⁡β=ab\therefore \frac{\sin \alpha+\sin \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}=\frac{a}{b} বা, cos⁡α+cos⁡βsin⁡α+sin⁡β=ba\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{\sin \alpha+\sin \beta}=\frac{b}{a} বা, 2cos⁡α+β2cos⁡α−β22sin⁡α+β2cos⁡α−β2=ba\frac{2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}=\frac{b}{a} বা, cos⁡2α+β2sin⁡2α+β2=b2a2\frac{\cos^{2} \frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin^{2} \frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}} বা, cos⁡290∘sin⁡290∘=h2a2[∵α+β=180∘]\frac{\cos^{2} 90^{\circ}}{\sin^{2} 90^{\circ}}=\frac{\mathrm{h}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}\left[\because \alpha+\beta=180^{\circ}\right] বা, 01=b2a2\frac{0}{1}=\frac{b^{2}}{a^{2}} বা, b2a2=0\frac{b^{2}}{a^{2}}=0 বা, b2−a2 b2+a2=0−10+1\frac{\mathrm{b}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}+\mathrm{a}^{2}}=\frac{0-1}{0+1} [বিয়োজন-যোজন করে] বা, b2−a2b2+a2=−1\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}}=-1 ∴b2−a2 b2+a2+1=0\therefore \frac{\mathrm{b}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}+\mathrm{a}^{2}}+1=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, cos⁡P(1+cos⁡2P)=2cos⁡Q\cos P\left(1+\cos^{2} P\right)=\sqrt{2} \cos Q বা, cos⁡P+cos⁡3P=2cos⁡Q\cos P+\cos^{3} P=\sqrt{2} \cos Q ………(i)\ldots\ldots\ldots (i) এবং sin⁡P(1−sin⁡2P)=2sin⁡Q\sin P\left(1-\sin^{2} P\right)=\sqrt{2} \sin Q বা, sin⁡P−sin⁡3P=2sin⁡Q\sin P-\sin^{3} P=\sqrt{2} \sin Q
………(ii)(i)\ldots\ldots\ldots (ii) (i)
নং ও (ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে বর্গ করে যোগ করি, (cos⁡P+cos⁡3P)2+(sin⁡P−sin⁡3P)2=2cos⁡2Q+2sin⁡2Q\left(\cos \mathrm{P}+\cos^{3} \mathrm{P}\right)^{2}+\left(\sin \mathrm{P}-\sin^{3} \mathrm{P}\right)^{2}=2 \cos^{2} \mathrm{Q}+2 \sin^{2} \mathrm{Q} বা, cos⁡2P+2cos⁡4P+cos⁡6P+sin⁡2P−2sin⁡4P+sin⁡6P=2(cos⁡2Q+sin⁡2Q)\cos^{2} P+2 \cos^{4} P+\cos^{6} P+\sin^{2} P-2 \sin^{4} P+\sin^{6} P=2\left(\cos^{2} Q+\sin^{2} Q\right) বা, (cos⁡2P+sin⁡2P)+2(cos⁡4P−sin⁡4P)+(cos⁡2P)3+(sin⁡2P)3=2\left(\cos^{2} \mathrm{P}+\sin^{2} \mathrm{P}\right)+2\left(\cos^{4} \mathrm{P}-\sin^{4} \mathrm{P}\right)+\left(\cos^{2} \mathrm{P}\right)^{3}+\left(\sin^{2} \mathrm{P}\right)^{3}=2 বা, 1+2(cos⁡2P−sin⁡2P)(cos⁡2P+sin⁡2P)+(cos⁡2P+sin⁡2P)1+2\left(\cos^{2} \mathrm{P}-\sin^{2} \mathrm{P}\right)\left(\cos^{2} \mathrm{P}+\sin^{2} \mathrm{P}\right)+\left(\cos^{2} \mathrm{P}+\sin^{2} \mathrm{P}\right) (cos⁡4P−cos⁡2P⋅sin⁡2P+sin⁡4P)=2\left(\cos^{4} P-\cos^{2} P \cdot \sin^{2} P+\sin^{4} P\right)=2 বা, 2(cos⁡2P−sin⁡2P)+1⋅{(cos⁡2P)2+(sin⁡2P)2−cos⁡2P⋅sin⁡2P}=12\left(\cos^{2} P-\sin^{2} P\right)+1 \cdot\left\{\left(\cos^{2} P\right)^{2}+\left(\sin^{2} P\right)^{2}-\cos^{2} P \cdot \sin^{2} P\right\}=1 বা, 2(1−2sin⁡2P)+(cos⁡2P+sin⁡2P)2−2cos⁡2P⋅sin⁡2P−cos⁡2P⋅sin⁡2P=1\quad 2\left(1-2 \sin^{2} P\right)+\left(\cos^{2} P+\sin^{2} P\right)^{2}-2 \cos^{2} P \cdot \sin^{2} P-\cos^{2} P \cdot \sin^{2} P=1 বা, 2−4sin⁡2P+1−3sin⁡2P⋅cos⁡2P=12-4 \sin^{2} P+1-3 \sin^{2} P \cdot \cos^{2} P=1 বা, 2−4sin⁡2P−3sin⁡2P(1−sin⁡2P)=02-4 \sin^{2} P-3 \sin^{2} P\left(1-\sin^{2} P\right)=0 বা, .2−4sin⁡2P−3sin⁡2P+3sin⁡4P=0.2-4 \sin^{2} P-3 \sin^{2} P+3 \sin^{4} P=0 বা, 3sin⁡4P−7sin⁡2P+2=03 \sin^{4} P-7 \sin^{2} P+2=0 বা, 3sin⁡4P−6sin⁡2P−sin⁡2P+2=0\quad 3 \sin^{4} P-6 \sin^{2} P-\sin^{2} P+2=0 বা, 3sin⁡2P(sin⁡2P−2)−1(sin⁡2P−2)=03 \sin^{2} P\left(\sin^{2} P-2\right)-1\left(\sin^{2} P-2\right)=0 বা, (sin⁡2P−2)(3sin⁡2P−1)=0\left(\sin^{2} P-2\right)\left(3 \sin^{2} P-1\right)=0 হয়, sin⁡2P−2=0\sin^{2} P-2=0 sin⁡2P=2\sin^{2} \mathrm{P}=2; ইহা গ্রহণযোগ্য নয়। অথবা, 3sin⁡2P−1=03 \sin^{2} \mathrm{P}-1=0 sin⁡2P=13\sin^{2} P=\frac{1}{3} ∴cos⁡2P=1−sin⁡2P=1−13=23\therefore \cos^{2} P=1-\sin^{2} P=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} বামপক্ষ =sin⁡(P−Q)=sin⁡P⋅cos⁡Q−cos⁡P⋅sin⁡Q=\sin (P-Q)=\sin P \cdot \cos Q-\cos P \cdot \sin Q =sin⁡{12(cos⁡P+cos⁡3P)}−cos⁡P⋅{12(sin⁡P−sin⁡3P)}=\sin \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \mathrm{P}+\cos^{3} \mathrm{P}\right)\right\}-\cos \mathrm{P} \cdot\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin \mathrm{P}-\sin^{3} \mathrm{P}\right)\right\} =12(sin⁡P⋅cos⁡P+sin⁡P⋅cos⁡3P−sin⁡P⋅cos⁡P+sin⁡3P⋅cos⁡P)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}+\sin \mathrm{P} \cdot \cos^{3} \mathrm{P}-\sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}+\sin^{3} \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}\right) =12sin⁡P⋅cos⁡P(cos⁡2P+sin⁡2P)=12⋅sin⁡P⋅cos⁡P=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P}\left(\cos^{2} \mathrm{P}+\sin^{2} \mathrm{P}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin \mathrm{P} \cdot \cos \mathrm{P} =12⋅(±13)⋅(±23)[∵sin⁡2P=13,cos⁡2P=23]=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\left[\because \sin^{2} \mathrm{P}=\frac{1}{3}, \cos^{2} \mathrm{P}=\frac{2}{3}\right] =±13== \pm \frac{1}{3}= ডানপক্ষ ∴sin⁡(P−Q)=±13\therefore \quad \sin (P-Q)= \pm \frac{1}{3}. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন