Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] [লব ও হরকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর, .

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: h(x)=cos⁡xh(x)=\cos x. উদ্দীপক-২: △ABC−এa=3+1, b=3−1\triangle \mathrm{ABC}-এ \mathrm{a}=\sqrt{3}+1, \mathrm{~b}=\sqrt{3}-1 এবং ∠C=60∘\angle \mathrm{C}=60^{\circ}.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =cosec⁡⁡(x−y)=\operatorname{\cosec}(x-y) =1sin⁡(x−y)=1sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y=\frac{1}{\sin (x-y)}=\frac{1}{\sin x \cos y-\cos x \sin y} =1cos⁡xcos⁡ysin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y=\frac{\frac{1}{\cos x \cos y}}{\frac{\sin x \cos y-\cos x \sin y}{\cos x \cos y}} [লব ও হরকে cos⁡xcos⁡y\cos x \cos y দ্বারা ভাগ করে] =1cos⁡xcos⁡y1sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y⋅cos⁡y=sec⁡xsec⁡ytan⁡x−tan⁡y==\frac{\frac{1}{\cos x \cos y}}{\frac{1}{\sin x \cos y}-\frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y \cdot \cos y}}=\frac{\sec x \sec y}{\tan x-\tan y}= ডানপক্ষ ∴cosec⁡⁡(x−y)=sec⁡xsec⁡ytan⁡x−tan⁡y\therefore \operatorname{\cosec}(x-y)=\frac{\sec x \sec y}{\tan x-\tan y} (প্রমাণিত)

উত্তর

φ(x)=cos⁡x\varphi(x)=\cos x φ(4x)=cos⁡4x\varphi(4 x)=\cos 4 x φ(8x)=cos⁡8x\varphi(8 x)=\cos 8 x φ(14x)=cos⁡14x\varphi(14 x)=\cos 14 x প্রদত্ত রাশি, =φ(2x)⋅φ(4x)⋅φ(8x)⋅φ(14x)=\varphi(2 \mathrm{x}) \cdot \varphi(4 \mathrm{x}) \cdot \varphi(8 \mathrm{x}) \cdot \varphi(14 \mathrm{x}) =cos⁡2x⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\cos 2 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =12sin⁡2x(2sin⁡2x⋅cos⁡2x)⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{2 \sin 2 x}(2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x) \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =12sin⁡2xsin⁡4x⋅cos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{2 \sin 2 x} \sin 4 x \cdot \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =14sin⁡2x⋅2sin⁡4xcos⁡4x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{4 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 4 x \cos 4 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =14sin⁡2x⋅sin⁡8x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=\frac{1}{4 \sin 2 x} \cdot \sin 8 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x =18sin⁡2x⋅2sin⁡8x⋅cos⁡8x⋅cos⁡14x=18sin⁡2x⋅sin⁡16x⋅cos⁡14x=116sin⁡2x⋅2sin⁡16x⋅cos⁡14x=116sin⁡2x{sin⁡(16x+14x)+sin⁡(16x−14x)}=116sin⁡2x(sin⁡30x+sin⁡2x)=116sin⁡2π15(sin⁡2π+sin⁡2π15)[∵x=π15]=116sin⁡2π15(0+sin⁡2π15)=116\begin{aligned} & =\frac{1}{8 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 8 x \cdot \cos 8 x \cdot \cos 14 x \\ & =\frac{1}{8 \sin 2 x} \cdot \sin 16 x \cdot \cos 14 x \\ & =\frac{1}{16 \sin 2 x} \cdot 2 \sin 16 x \cdot \cos 14 x \\ & =\frac{1}{16 \sin 2 x}\{\sin (16 x+14 x)+\sin (16 x-14 x)\} \\ & =\frac{1}{16 \sin 2 x}(\sin 30 x+\sin 2 x) \\ & =\frac{1}{16 \sin \frac{2 \pi}{15}}\left(\sin 2 \pi+\sin \frac{2 \pi}{15}\right)\left[\because x=\frac{\pi}{15}\right] \\ & =\frac{1}{16 \sin \frac{2 \pi}{15}}\left(0+\sin \frac{2 \pi}{15}\right)=\frac{1}{16}\end{aligned} নির্ণেয় মান : 116\frac{1}{16}

উত্তর

দেওয়া আছে, △ABC−△a=3+1\triangle \mathrm{ABC}-\triangle \mathrm{a}=\sqrt{3}+1 b=3−1b=\sqrt{3}-1 এবং C=60∘C=60^{\circ} আমরা জানি, cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} বা, cos⁡60∘=(3+1)2+(3−1)2−c22(3+1)⋅(3−1)\cos 60^{\circ}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2-\mathrm{c}^2}{2(\sqrt{3}+1) \cdot(\sqrt{3}-1)} বা, 12=2⋅3+2⋅1−c22(3−1)[∵(a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2]\frac{1}{2}=\frac{2 \cdot 3+2 \cdot 1-c^2}{2(3-1)}\left[\because(a+b)^2+(a-b)^2=2 a^2+2 b^2\right] বা, 1=8−c221=\frac{8-\mathrm{c}^2}{2} বা, 2=8−c22=8-c^2 বা, c2=6c^2=6 ∴c=6\therefore \quad c=\sqrt{6} একক △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর অর্ধ-পরিসীমা, S=a+b+c2=3+1+3−1+62S=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1+\sqrt{6}}{2} =23+62=3+62=\frac{2 \sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল, Δ=S(S−a)(S−b)(S−c)\Delta=\sqrt{\mathrm{S}(\mathrm{S}-\mathrm{a})(\mathrm{S}-\mathrm{b})(\mathrm{S}-\mathrm{c})} =(3+62)(3+62−3−1)(3+62−3+1)(3+62−6)=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}\right)} =(3+62)(62−1)(62+1)(3−62)=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-1\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{2}+1\right)\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)} ={(3)2−(62)2}{(62)2−12}=\sqrt{\left\{(\sqrt{3})^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\right\}\left\{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-1^2\right\}} =(3−64)(64−1)=64×24=34=32=\sqrt{\left(3-\frac{6}{4}\right)\left(\frac{6}{4}-1\right)}=\sqrt{\frac{6}{4} \times \frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} ∴ABC\therefore \quad \mathrm{ABC} এর অন্তঃব্যাসার্ধ r=ΔS=323+62=323+6r =\frac{\Delta}{S}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+\sqrt{6}} =33(2+2)=12+2=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}=\frac{1}{2+\sqrt{2}} =2−2(2+2)(2−2)=\frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} =2−222−(2)2=2−24−2=2−22=\frac{2-\sqrt{2}}{2^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2} নির্ণেয় অন্তঃব্যাসার্ধ 2−22\frac{2-\sqrt{2}}{2} একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন