Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর, [গণিত]

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}. উদ্দীপক-২ : ABC একটি ত্রিভুজ এবং g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴f(2 A)=cos⁡2 A\therefore f(2 \mathrm{~A})=\cos 2 \mathrm{~A} বামপক্ষ =2(2cos⁡2A2−1)2−1=2\left(2 \cos^2 \frac{A}{2}-1\right)^2-1 [∵cos⁡θ=2cos⁡2θ2−1]\left[\because \cos \theta=2 \cos^2 \frac{\theta}{2}-1\right] =2(4cos⁡4A2−4cos⁡2A2+1)−1=2\left(4 \cos^4 \frac{A}{2}-4 \cos^2 \frac{A}{2}+1\right)-1 =8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+2−1=8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+2-1 =8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+1==8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+1= ডানপক্ষ ∴f(2A)=8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+1.\therefore f(2 A)=8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+1 . (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x বামপক্ষ ={f(x)}3+{{(120∘+x)}3+{f(240∘+x)}3=\{f(x)\}^3+\left\{\left\{\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^3+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}^3\right. =cos⁡3x+cos⁡3(120∘+x)+cos⁡3(240∘+x)=\cos^3 x+\cos^3\left(120^{\circ}+x\right)+\cos^3\left(240^{\circ}+x\right) =14{4cos⁡3x+4cos⁡3(120∘+x)+4cos⁡3(240∘+x)}=\frac{1}{4}\left\{4 \cos^3 x+4 \cos^3\left(120^{\circ}+x\right)+4 \cos^3\left(240^{\circ}+x\right)\right\} =14{cos⁡3x+3cos⁡x+cos⁡3(120∘+x)+3cos⁡(120∘+x)=\frac{1}{4}\left\{\cos 3 x+3 \cos x+\cos 3\left(120^{\circ}+x\right)+3 \cos \left(120^{\circ}+x\right)\right. +cos⁡3(240∘+x)+3cos⁡(240∘+x)}\left.+\cos 3\left(240^{\circ}+x\right)+3 \cos \left(240^{\circ}+x\right)\right\} =14[cos⁡3x+3cos⁡x+cos⁡(720∘+3x)+cos⁡(360∘+3x)=\frac{1}{4}\left[\cos 3 x+3 \cos x+\cos \left(720^{\circ}+3 x\right)+\cos \left(360^{\circ}+3 x\right)\right. +3{cos⁡(240∘+x)+cos⁡(120∘+x)}]\left.+3\left\{\cos \left(240^{\circ}+x\right)+\cos \left(120^{\circ}+x\right)\right\}\right] =14{cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡(540∘+3x)cos⁡180∘=\frac{1}{4}\left\{\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos \left(540^{\circ}+3 x\right) \cos 180^{\circ}\right. +3.2cos⁡(180∘+x)cos⁡60∘}\left.+3.2 \cos \left(180^{\circ}+x\right) \cos 60^{\circ}\right\} =14(cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡3x⋅1−3.2cos⁡x⋅12)=\frac{1}{4}\left(\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos 3 x \cdot 1-3.2 \cos x \cdot \frac{1}{2}\right) =14(cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡3x−3cos⁡x)=\frac{1}{4}(\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos 3 x-3 \cos x) =14×3cos⁡3x=34cos⁡3x=34f(3x)==\frac{1}{4} \times 3 \cos 3 x=\frac{3}{4} \cos 3 x=\frac{3}{4} f(3 x)= ডানপক্ষ ∴{f(x)}2+{{(120∘+x)}3+{(240∘+x)}3=34f(3x)\therefore\{f(\mathrm{x})\}^2+\left\{\left\{\left(120^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\}^3+\left\{\left(240^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\}^3=\frac{3}{4} f(3 \mathrm{x})\right. প্রমাণিত)

উত্তর

বামপক্ষ =g(A+B−C)+g(B+C−A)=g(A+B-C)+g(B+C-A) +g(C+A−B)+g(C+A-B) =sin⁡(A˙+B−C)+sin⁡(B+C−A)=\sin (\dot{A}+B-C)+\sin (B+C-A) +sin⁡(C+A−B)+\sin (C+A-B) =sin⁡{(A+B+C)−2C}=\sin \{(A+B+C)-2 C\} +sin⁡{(A+B+C)−2A}+\sin \{(A+B+C)-2 A\} +sin⁡{(A+B+C)−2B}+\sin \{(A+B+C)-2 B\} =sin⁡(π−2C)+sin⁡(π−2A)+sin⁡(π−2B)=\sin (\pi-2 C)+\sin (\pi-2 A)+\sin (\pi-2 B) [∵ABC[\because \mathrm{ABC} ত্রিভুজে, ∠A+∠B+∠C=π]\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=\pi] =sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C =2sin⁡2A+2B2cos⁡2A−2B2+sin⁡2C=2 \sin \frac{2 A+2 B}{2} \cos \frac{2 A-2 B}{2}+\sin 2 C =2sin⁡(A+B)cos⁡(A−B)+sin⁡2C=2 \sin (A+B) \cos (A-B)+\sin 2 C =2sin⁡(π−C)cos⁡(A−B)+sin⁡2C=2 \sin (\pi-C) \cos (A-B)+\sin 2 C =2sin⁡Ccos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C=2 \sin C \cos (A-B)+2 \sin C \cos C =2sin⁡C{cos⁡(A−B)+cos⁡C}=2 \sin C\{\cos (A-B)+\cos C\} =2sin⁡C{cos⁡(A−B)+cos⁡(π−A−B)}=2 \sin C\{\cos (A-B)+\cos (\pi-A-B)\} =2sin⁡C{cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)}=2 \sin C\{\cos (A-B)-\cos (A+B)\} =2sin⁡′C×2sin⁡Asin⁡B=2 \sin^{\prime} C \times 2 \sin A \sin B =4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=4×2Δbc×2Δca×2Δab=4 \sin A \sin B \sin C=4 \times \frac{2 \Delta}{b c} \times \frac{2 \Delta}{c a} \times \frac{2 \Delta}{a b} [∵Δ=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡B]{\left[\because \Delta=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B\right]} =32Δ3a2b2c2==\frac{32 \Delta^3}{a^2 b^2 c^2}= ডানপক্ষ ∴g( A+B−C)+g( B+C−A˙)+g(C+A−B)=\therefore \mathrm{g}(\mathrm{~A}+\mathrm{B}-\mathrm{C})+\mathrm{g}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}-\dot{\mathrm{A}})+\mathrm{g}(\mathrm{C}+\mathrm{A}-\mathrm{B})= 32Δ3a2 b2c2.\frac{32 \Delta^3}{\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2 \mathrm{c}^2} . (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রমাণ কর, [গণিত] | Prosthuti