Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-১ হতে প্রমাণ কর : [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপক-১ হতে প্রমাণ কর : .

উদ্দীপক

উদ্দাপক-১ : A+B+C=π;cos⁡A−cos⁡Bcos⁡C=0\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi ; \cos \mathrm{A}-\cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}=0. উদ্দীপক-২: 1+etan⁡α2=1−etan⁡β2\sqrt{1+e} \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{e}} \tan \frac{\beta}{2}.

রাজশাহী কলেজ · 2025

উত্তর

যেকোনো ত্রিভুজ ABC-এ, A+B+C=180∘\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180^{\circ} বা, 105∘+C=180∘105^{\circ}+\mathrm{C}=180^{\circ} বা, C=180∘−105∘C=180^{\circ}-105^{\circ} বা, C=75∘C=75^{\circ} এখন, cos⁡C=75∘=cos⁡(45∘+30∘)\cos \mathrm{C} =75^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) =cos⁡45∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅sin⁡30∘=\cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} =12⋅32−12⋅12=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} ∴cos⁡C=3−122.\therefore \quad \cos \mathrm{C} =\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} .

উত্তর

দেওয়া আছে, A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi এবং cos⁡A−cos⁡B⋅cos⁡C=0\cos A-\cos B \cdot \cos C=0 ∴cos⁡A=cos⁡B⋅cos⁡C\therefore \cos A =\cos B \cdot \cos C বামপক্ষ =tan⁡A−tan⁡B−tan⁡C=\tan A-\tan B-\tan C =tan⁡A−(tan⁡B+tan⁡C)=\tan A-(\tan B+\tan C) =tan⁡A−(sin⁡Bcos⁡B+sin⁡Ccos⁡C)=\tan A-\left(\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}\right) =tan⁡A−sin⁡B⋅cos⁡C+cos⁡B⋅sin⁡Ccos⁡B⋅cos⁡C=\tan A-\frac{\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C}{\cos B \cdot \cos C} =tan⁡A−sin⁡(B+C)cos⁡B⋅cos⁡C=\tan A-\frac{\sin (B+C)}{\cos B \cdot \cos C} =tan⁡A−sin⁡(π−A)cos⁡A[∵A+B+C=π]=\tan A-\frac{\sin (\pi-A)}{\cos A}[\because A+B+C=\pi] =tan⁡A−sin⁡Acos⁡A=tan⁡A−tan⁡A=0==\tan A-\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A-\tan A=0= ডানপক্ষ } ∴tan⁡A−tan⁡B−tan⁡C=0.\therefore \quad \tan A -\tan B-\tan C=0 . (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক ২ হতে, 1+etan⁡α2=1−etan⁡β2\sqrt{1+e} \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-e} \tan \frac{\beta}{2} বা, (1+e)tan⁡2α2=(1−e)tan⁡2β2(1+e) \tan^2 \frac{\alpha}{2}=(1-e) \tan^2 \frac{\beta}{2} বা, 1+e1−e⋅sin⁡2α2cos⁡2α2=sin⁡2β2cos⁡β2\frac{1+\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \cdot \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}} বা, sin⁡2α2+esin⁡2α2cos⁡2α2−ecos⁡2α2=sin⁡2β2cos⁡2β2\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}+e \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}-e \cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}} বা, cos⁡2α2−ecos⁡2α2sin⁡2α2+esin⁡2α2=cos⁡2β2sin⁡2β2\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}-e \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}+e \sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos^2 \frac{\beta}{2}}{\sin^2 \frac{\beta}{2}} বা, cos⁡2α2−ecos⁡2α2+sin⁡2α2+esin⁡2α2cos⁡2α2−ecos⁡2α2−sin⁡2α2−esin⁡2α2\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}-e \cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}+e \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}-e \cos^2 \frac{\alpha}{2}-\sin^2 \frac{\alpha}{2}-e \sin^2 \frac{\alpha}{2}} =cos⁡2β2+sin⁡2β2cos⁡2β2−sin⁡2β2=\frac{\cos^2 \frac{\beta}{2}+\sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}-\sin^2 \frac{\beta}{2}} [যোজন-বিয়োজন করে] বা, (cos⁡2α2+sin⁡2α2)−e(cos⁡2α2−sin⁡2α2)(cos⁡2α2−sin⁡2α2)−e(cos⁡2α2+sin⁡2α2)\frac{\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)-e\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2}-\sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)}{\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2}-\sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)-e\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)} =1cos⁡β=\frac{1}{\cos \beta} [∵cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ]\left[\because \cos^2 \theta-\sin^2 \theta=\cos 2 \theta\right] বা, 1−ecos⁡αcos⁡α−e⋅1\frac{1-\mathrm{e} \cos \alpha}{\cos \alpha-\mathrm{e} \cdot 1} =sec⁡β[∵cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ]=\sec \beta\left[\because \cos^2 \theta-\sin^2 \theta=\cos 2 \theta\right] বা, cos⁡α(1cos⁡α−e)cos⁡α(1−e⋅1cos⁡α)=sec⁡β\frac{\cos \alpha\left(\frac{1}{\cos \alpha}-\mathrm{e}\right)}{\cos \alpha\left(1-\mathrm{e} \cdot \frac{1}{\cos \alpha}\right)}=\sec \beta বা, sec⁡α−e1−esec⁡α=sec⁡β\frac{\sec \alpha-\mathrm{e}}{1-\mathrm{e} \sec \alpha}=\sec \beta. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতরাজশাহী কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন