Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া, আছে, [গণিত] বামপক্ষ = [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi

চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃকলেজ · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡2P=2sin⁡A⋅cos⁡P=2sin⁡Pcos⁡A⋅cos⁡2P=\sin 2 P=2 \sin A \cdot \cos P=2 \frac{\sin P}{\cos A} \cdot \cos^2 P =2tan⁡P⋅1sec⁡2P=2tan⁡P⋅11+tan⁡2P=2 \tan P \cdot \frac{1}{\sec^2 P}=2 \tan P \cdot \frac{1}{1+\tan^2 P} =2tan⁡P1+tan⁡2P==\frac{2 \tan P}{1+\tan^2 P}= ডানপক্ষ ∴sin⁡2P=2tan⁡P1+tan⁡2P⋅\therefore \quad \sin 2 P =\frac{2 \tan P}{1+\tan^2 P} \cdot (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া, আছে, A+B+C=πA + B + C = \pi বামপক্ষ = cos⁡A−cos⁡B+cos⁡C\cos A - \cos B + \cos C =2sin⁡A+B2⋅sin⁡B−A2+cos⁡C=2sin⁡π−C2⋅sin⁡B−A2+(1+cos⁡C)−1[∵A+B+C=π]=2cos⁡C2⋅sin⁡B−A2+2cos⁡2C2−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+cos⁡C2]−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+cos⁡π−(A+B)2]−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+sin⁡A+B2]−1=2cos⁡C2[sin⁡(B2−A2)+sin⁡(A2+B2)]−1=2cos⁡C2⋅2sin⁡B2⋅cos⁡A2−1=4cos⁡A2⋅sin⁡B2⋅cos⁡C2−1=sin⁡−12∴cos⁡A−cos⁡B+cos⁡C=4cos⁡A2⋅sin⁡B2cos⁡C2−1.\begin{aligned} & =2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+\cos C \\ & =2 \sin \frac{\pi-C}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+(1+\cos C)-1[\because A+B+C=\pi] \\ & =2 \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+2 \cos^2 \frac{C}{2}-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\cos \frac{C}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\cos \frac{\pi-(A+B)}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\sin \frac{A+B}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \left(\frac{B}{2}-\frac{A}{2}\right)+\sin \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}-1 \\ & =4 \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}-1=\sin -\frac{1}{2} \\ \therefore \quad \cos A & -\cos B+\cos C=4 \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}-1 .\end{aligned} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=B=π6=30∘\mathrm{A}=\mathrm{B}=\frac{\pi}{6}=30^{\circ}. ∴C=180∘−(A+B)\therefore \quad \mathrm{C} =180^{\circ}-(\mathrm{A}+\mathrm{B}) =180∘−(30∘+30∘)=180∘−60∘=120∘=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+30^{\circ}\right)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} বামপক্ষ =sin⁡3x+sin⁡3(C+x)+sin⁡3(2C+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3(\mathrm{C}+\mathrm{x})+\sin^3(2 \mathrm{C}+\mathrm{x}) =sin⁡3x+sin⁡3(120∘+x)+sin⁡3(240∘+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left(120^{\circ}+\mathrm{x}\right)+\sin^3\left(240^{\circ}+\mathrm{x}\right) =sin⁡3x+sin⁡3(180∘−60∘+x)+sin⁡3(180∘+60∘+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left(180^{\circ}-60^{\circ}+\mathrm{x}\right)+\sin^3\left(180^{\circ}+60^{\circ}+\mathrm{x}\right) =sin⁡3x+sin⁡3{180∘−(60∘−x)}+sin⁡3{180∘+(60∘+x)}=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left\{180^{\circ}-\left(60^{\circ}-\mathrm{x}\right)\right\}+\sin^3\left\{180^{\circ}+\left(60^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\} =sin⁡3x+sin⁡3(60∘−x)−sin⁡3(60∘+x)=\sin^3 x+\sin^3\left(60^{\circ}-x\right)-\sin^3\left(60^{\circ}+x\right) =14[4sin⁡3x+4sin⁡3(60∘−x)−4sin⁡3(60∘+x)]=\frac{1}{4}\left[4 \sin^3 x+4 \sin^3\left(60^{\circ}-x\right)-4 \sin^3\left(60^{\circ}+x\right)\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x+3sin⁡(60∘−x)=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x+3 \sin \left(60^{\circ}-x\right)\right. −sin⁡(180∘−3x)−3sin⁡(60∘+x)+sin⁡(180∘+3x)]\left.\quad \quad-\sin \left(180^{\circ}-3 x\right)-3 \sin \left(60^{\circ}+x\right)+\sin \left(180^{\circ}+3 x\right)\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3{sin⁡(60∘+x)−sin⁡(60∘−x)}=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x-3\left\{\sin \left(60^{\circ}+x\right)-\sin \left(60^{\circ}-x\right)\right\}\right. +{sin⁡(180∘+3x)−sin⁡(180∘−3x)}]\left.\quad \quad+\left\{\sin \left(180^{\circ}+3 x\right)-\sin \left(180^{\circ}-3 x\right)\right\}\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3.2cos⁡60∘sin⁡x+2cos⁡180∘sin⁡3x]=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x-3.2 \cos 60^{\circ} \sin x+2 \cos 180^{\circ} \sin 3 x\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3sin⁡x+2(−1)sin⁡3x]=\frac{1}{4}[3 \sin x-\sin 3 x-3 \sin x+2(-1) \sin 3 x] =14[−3sin⁡3x]=−34sin⁡3x==\frac{1}{4}[-3 \sin 3 x]=\frac{-3}{4} \sin 3 x= ডানপক্ষ সুতরাং sin⁡3x+sin⁡3(C+x)+sin⁡3(2C+x)=−34sin⁡3x\sin^3 x+\sin^3(C+x)+\sin^3(2 C+x)=\frac{-3}{4} \sin 3 x. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতচট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃকলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন