Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : θ=6∘\theta=6^{\circ} দৃশ্যকল্প-২ : f(x)=cos⁡x,g(x)=sin⁡x,h(x)=tan⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x}

সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ, যশোর · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =1sin⁡15∘+3cos⁡15∘=cos⁡15∘+3sin⁡15∘sin⁡15∘⋅cos⁡15∘=\frac{1}{\sin 15^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 15^{\circ}}=\frac{\cos 15^{\circ}+\sqrt{3} \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}} =2(12cos⁡15∘+32sin⁡15∘)sin⁡15∘⋅cos⁡15∘=\frac{2\left(\frac{1}{2} \cos 15^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 15^{\circ}\right)}{\sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}} =2.2(sin⁡30∘⋅cos⁡15∘+cos⁡30∘⋅sin⁡15∘)2sin⁡15∘⋅cos⁡15∘=\frac{2.2\left(\sin 30^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}+\cos 30^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ}\right)}{2 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}} =4sin⁡(30∘+15∘)sin⁡(2.15∘)=4sin⁡45∘sin⁡30∘=4⋅1212=\frac{4 \sin \left(30^{\circ}+15^{\circ}\right)}{\sin \left(2.15^{\circ}\right)}=\frac{4 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=4 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} =4⋅22=42==4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=4 \sqrt{2}= ডানপক্ষ ∴1sin⁡15∘+3cos⁡15∘=42\therefore \quad \frac{1}{\sin 15^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 15^{\circ}}=4 \sqrt{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, θ=6∘\theta=6^{\circ} বামপক্ষ =tan⁡θ⋅tan⁡7θtan⁡11θtan⁡13θ=\tan \theta \cdot \tan 7 \theta \tan 11 \theta \tan 13 \theta =tan⁡6∘tan⁡(7×6∘)tan⁡(11×6∘)tan⁡(13×6∘)=\tan 6^{\circ} \tan \left(7 \times 6^{\circ}\right) \tan \left(11 \times 6^{\circ}\right) \tan \left(13 \times 6^{\circ}\right) =tan⁡6∘tan⁡42∘tan⁡66∘tan⁡78∘=\tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ} =sin⁡6∘sin⁡42∘sin⁡66∘sin⁡78∘cos⁡6∘cos⁡42∘cos⁡66∘cos⁡78∘=\frac{\sin 6^{\circ} \sin 42^{\circ} \sin 66^{\circ} \sin 78^{\circ}}{\cos 6^{\circ} \cos 42^{\circ} \cos 66^{\circ} \cos 78^{\circ}} =2sin⁡66∘sin⁡6∘−2sin⁡78∘sin⁡42∘2cos⁡66∘cos⁡6∘⋅2cos⁡78∘cos⁡42∘=\frac{2 \sin 66^{\circ} \sin 6^{\circ}-2 \sin 78^{\circ} \sin 42^{\circ}}{2 \cos 66^{\circ} \cos 6^{\circ} \cdot 2 \cos 78^{\circ} \cos 42^{\circ}} =cos⁡60∘−cos⁡72∘cos⁡72∘+cos⁡60∘⋅cos⁡36∘−cos⁡120∘cos⁡120∘+cos⁡36∘=\frac{\cos 60^{\circ}-\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}+\cos 60^{\circ}} \cdot \frac{\cos 36^{\circ}-\cos 120^{\circ}}{\cos 120^{\circ}+\cos 36^{\circ}} =12−5+145+14+12⋅5−14+12−12+5−14=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{4}}{\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{1}{2}} \cdot \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}} =2−5−15+1+2⋅5−1+2−2+5−1=\frac{2-\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1+2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1+2}{-2+\sqrt{5}-1} =(1−5)(1+5)(3+5)(5−3)=1−55−9=−4−4=1==\frac{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3)}=\frac{1-5}{5-9}=\frac{-4}{-4}=1= ডाনপক্ষ ∴tan⁡θ⋅tan⁡7θtan⁡11θtan⁡13θ=1\therefore \tan \theta \cdot \tan 7 \theta \tan 11 \theta \tan 13 \theta=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡x, g(x)=sin⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং h(x)=tan⁡x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} এখানে, h(π2−A)h(π2−B)h(π2−C)=h(π2−D)h\left(\frac{\pi}{2}-A\right) h\left(\frac{\pi}{2}-B\right) h\left(\frac{\pi}{2}-C\right)=h\left(\frac{\pi}{2}-D\right) বা, tan⁡(π2−A)tan⁡(π2−B)tan⁡(π2−C)=tan⁡(π2−D)\tan \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{A}\right) \tan \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{B}\right) \tan \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{C}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{D}\right) বা, cot⁡A⋅cot⁡B⋅cot⁡C=cot⁡D\cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}=\cot \mathrm{D} অর্থাৎ দেখাতে হবে যে, cot⁡A⋅cot⁡B⋅cot⁡C=cot⁡D\cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}=\cot \mathrm{D}. এখন, f( A+B)⋅g(C+D)=f( A−B)g(C−D)f(\mathrm{~A}+\mathrm{B}) \cdot \mathrm{g}(\mathrm{C}+\mathrm{D})=f(\mathrm{~A}-\mathrm{B}) \mathrm{g}(\mathrm{C}-\mathrm{D}) হলে, cos⁡(A+B)sin⁡(C+D)=cos⁡(A−B)sin⁡(C−D)\cos (A+B) \sin (C+D)=\cos (A-B) \sin (C-D) বा, sin⁡(C+D)sin⁡(C−D)=cos⁡(A−B)cos⁡(A+B)\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}=\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} বা, \frac{\sin (C+D)-\sin (C-D)}{\sin (C+D}+\sin (C-D)}=\frac{\cos (A-B)-\cos \left(A^{\circ}+B\right)}{\cos (A-B)+\cos (A+B)} [বিয়োজন-যোজন করে] বा, 2cos⁡Csin⁡D2sin⁡Ccos⁡D=2sin⁡Asin⁡B2cos⁡Acos⁡B\frac{2 \cos C \sin D}{2 \sin C \cos D}=\frac{2 \sin A \sin B}{2 \cos A \cos B} বা, cot⁡Ccot⁡D=1cot⁡A⋅cot⁡B\frac{\cot C}{\cot D}=\frac{1}{\cot A \cdot \cot B} ∴cot⁡A⋅cot⁡B⋅cot⁡C=cot⁡D\therefore \quad \cot \mathrm{A} \cdot \cot \mathrm{B} \cdot \cot \mathrm{C}=\cot \mathrm{D}. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতসরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ, যশোর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন