Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABCABC ত্রিভুজে C=60°.C = 60°. দৃশ্যকল্প-২ : M=cos⁡P+cos⁡R.M = \cos P + \cos R.

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =3sin⁡20∘−1cos⁡20∘=tan⁡60∘sin⁡20∘−1cos⁡20∘=\frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}=\frac{\tan 60^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}} =sin⁡60∘cos⁡60∘sin⁡20∘−1cos⁡20∘=\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}} =sin⁡60∘cos⁡20∘−cos⁡60∘sin⁡20∘cos⁡60∘sin⁡20∘cos⁡20∘=\frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} =sin⁡(60∘−20∘)12sin⁡20∘cos⁡20∘=sin⁡40∘14×2sin⁡20∘cos⁡20∘=\frac{\sin \left(60^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}}{\frac{1}{4} \times 2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} =4sin⁡40∘sin⁡40∘=4==\frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=4= ডানপক্ষ ∴3sin⁡20∘−1cos⁡20∘=4.\therefore \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}=4 . (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এ ∠ACB=60∘\angle \mathrm{ACB}=60^{\circ} অতএব, cos⁡C=cos⁡60∘\cos \mathrm{C}=\cos 60^{\circ} বা, a2+b2−c22ab=12[∵cos⁡C=a2+b2−c22ab]\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}{2 \mathrm{ab}}=\frac{1}{2}\left[\because \cos \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}{2 \mathrm{ab}}\right] বা, a2+b2−c2ab=1\frac{a^2+b^2-c^2}{a b}=1 বা, a2+b2−c2=aba^2+b^2-c^2=a b বা, a2+b2−c2−ab=0a^2+b^2-c^2-a b=0 বা, (a+b+c)2−3ab−2bc−2ca−2c2=0(a+b+c)^2-3 a b-2 b c-2 c a-2 c^2=0 বা, (a+b+c)2+ac+bc+c2=3ab+3bc+3ac+3c2(a+b+c)^2+a c+b c+c^2=3 a b+3 b c+3 a c+3 c^2 বা, (a+b+c)2+c(a+b+c)=3b(a+c)+3c(a+c)(a+b+c)^2+c(a+b+c)=3 b(a+c)+3 c(a+c) বা, (a+b+c)(a+b+c+c)=(a+c)(3b+3c)(a+b+c)(a+b+c+c)=(a+c)(3 b+3 c) বা, (a+b+c){(a+c)+(b+c)}=3(a+c)(b+c)(a+b+c)\{(a+c)+(b+c)\}=3(a+c)(b+c) বা, \frac{(a+c)+(b+c)}{(a+c}(b+c)}=\frac{3}{a+b+c} ∴1a+c+1 b+c=3a+b+c\therefore \quad \frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{~b}+\mathrm{c}}=\frac{3}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, P+Q+R=π\mathrm{P}+\mathrm{Q}+\mathrm{R}=\pi এবং M=cos⁡P+cos⁡R\mathrm{M}=\cos \mathrm{P}+\cos \mathrm{R} বামপক্ষ =M−1+cos⁡Q=M-1+\cos Q =cos⁡P+cos⁡Q+cos⁡R−1=\cos P+\cos Q+\cos R-1 =2cos⁡P+Q2cos⁡P−Q2−(1−cos⁡R)=2 \cos \frac{P+Q}{2} \cos \frac{P-Q}{2}-(1-\cos R) =2cos⁡(π2−R2)cos⁡P−Q2−2sin⁡2R2=2 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{R}{2}\right) \cos \frac{P-Q}{2}-2 \sin^2 \frac{R}{2} =2sin⁡R2cos⁡P−Q2−2sin⁡2R2=2 \sin \frac{R}{2} \cos \frac{P-Q}{2}-2 \sin^2 \frac{R}{2} =2sin⁡R2[cos⁡P−Q2−sin⁡R2]=2 \sin \frac{R}{2}\left[\cos \frac{P-Q}{2}-\sin \frac{R}{2}\right] =2sin⁡R2[cos⁡P−Q2−sin⁡{π2−(P+Q2)}]=2 \sin \frac{R}{2}\left[\cos \frac{P-Q}{2}-\sin \left\{\frac{\pi}{2}-\left(\frac{P+Q}{2}\right)\right\}\right] =2sin⁡R2[cos⁡P−Q2−cos⁡P+Q2]=2 \sin \frac{R}{2}\left[\cos \frac{P-Q}{2}-\cos \frac{P+Q}{2}\right] =2sin⁡R2×2sin⁡P2sin⁡Q2=4sin⁡P2sin⁡Q2sin⁡R2==2 \sin \frac{R}{2} \times 2 \sin \frac{P}{2} \sin \frac{Q}{2}=4 \sin \frac{P}{2} \sin \frac{Q}{2} \sin \frac{R}{2}= ডানপক্ষ ∴M1+cos⁡Q=4sin⁡P2sin⁡Q2sin⁡R2.\therefore \quad M 1+\cos Q=4 \sin \frac{P}{2} \sin \frac{Q}{2} \sin \frac{R}{2} . (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতসরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন